【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：正弦函数的图象与性质2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象以 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 中心对称，则（）

A、 $y =$ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $y =$ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{12} ， \frac{11 π}{12})$ 有2个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是一条对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是一条切线

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2. 设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{5}{3} ， \frac{19}{6})$ C、 $(\frac{13}{6} ， \frac{8}{3}]$ D、 $(\frac{13}{6} ， \frac{19}{6}]$

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3. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 记函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4}) + b (ω > 0)$ 的最小正周期为T，若 $\frac{2 π}{3} < T < π ，$ 则 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 2)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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5. 若 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $[- t ， t]$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ B、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{6}]$

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6. 已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π ， π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ $(A > 0 ， φ > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 在一个周期内的函数图象如图所示．若方程 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， π]$ 有两个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{4 π}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ ，若 $f (x) ≤ | f (\frac{π}{3}) |$ 恒成立，且 $f (π) > f (\frac{π}{4})$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}]$ （ $k \in Z$ ） B、 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}]$ （ $k \in Z$ ） C、 $[k π - \frac{π}{3} ， k π + \frac{π}{6}]$ （ $k \in Z$ ） D、 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}]$ （ $k \in Z$ ）

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9. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x - \frac{π}{3}) - 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6}) + 1$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的方程 $g (x) = a$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 内的两根，则 $s i n (2 x_{1} + 2 x_{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，R为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点P，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点P位于初始点 $P_{0} (2 ， - 2 \sqrt{3})$ 时记为 $t = 0$ 秒，在筒车旋转t秒的过程中，点 $P (x ， y)$ 的纵坐标满足 $y = f (t) = R s i n (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则下列叙述正确的是（）

A、筒车转动的角速度 $ω = \frac{π}{50}$ B、当 $t = 75$ 秒时，点P的纵坐标为-2 C、当 $t = 75$ 秒时，点P和初始点 $P_{0}$ 的距离为4 D、当 $0 < t \leq 30$ 秒时，点P距离x轴的最大值为4

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in (0 ， \frac{3 π}{2})$ ，且 $x_{3} - x_{2} = 2 (x_{2} - x_{1}) = 4 x_{1}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) > 0$ ，则 $φ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 2$ B、若 $ω = 4$ ，则 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、若 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ D、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

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13. 已知函数 $f (x) = s i n ω x - c o s (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \frac{13}{6}]$ B、 $[\frac{7}{6} ， \frac{13}{6})$ C、 $[\frac{7}{6} ， 2)$ D、 $[1 ， \frac{13}{6})$

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、10

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二、填空题

15. 若函数 $f (x) = A \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ ，则 $A =$ ； $f (\frac{π}{12}) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $g (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(x_{0} ， 0)$ 对称，则 $t a n 2 x_{0} =$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称，则 $φ =$ ， $f (x)$ 的图象至少向左平移个单位长度得到 $g (x) = c o s (2 x + φ)$ 的图象.

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18. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为2，D是边 $B C$ 的中点，动点P满足 $| \vec{P D} | \leq 1$ ，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，其中 $x + y \geq 1$ ，则 $2 x + y$ 的最大值为．

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19. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ϖ t$ .我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ .给出下列四个结论：
① $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ ；
② $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点；
③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数；
④ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .
其中所有正确结论的序号是.

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20. 已知 $f (x) = s i n x + c o s x$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的最大值为；若 $f (x) + g (x)$ 的值域为 ${0}$ ，则a的最小值为．

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21. 给出下列命题：（1）函数 $y = s i n | x |$ 不是周期函数；（2）函数 $y = t a n x$ 在定义域内为增函数；（3）函数 $y = | c o s 2 x + \frac{1}{2} |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；（4）函数 $y = 4 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ ．其中正确命题的序号是．

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22. 写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数 $f (x) =$ ．

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23. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{5} = \frac{3 π}{8}$ ，设函数 $f (x) = (4 c o s^{2} \frac{x}{2} - 2) s i n x + c o s 2 x + 2$ ，记 $y_{n} = f (a_{n})$ ，则数列 ${y_{n}}$ 的前9项和为．

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24. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} c o s ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为．

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25. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列有关 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的描述正确的有．（填序号）
①方程 $f (x) + g (x) = \sqrt{6} (x \in (0 ， \frac{3 π}{2}))$ 所有根的和为 $\frac{7 π}{12}$ ；
②不等式 $\frac{g (x)}{f (x)} \geq \sqrt{3}$ 的解集为 $[\frac{π}{3} + \frac{k π}{2} ， \frac{5 π}{6} + \frac{k π}{2})$ ， $k \in Z$
③函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 图象关于 $x = \frac{7 π}{24}$ 对称．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) s i n x$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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27. 已知 $a^{2} + 4 b^{2} = 4$ .

(1)、求 $a + b$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq \sqrt{2}$ .

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28. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，又函数g(x)=f(x+ $\frac{π}{8}$ ).

(1)、求函数g(x)的单调增区间；

(2)、设 $△$ ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，又c= $\sqrt{3}$ ，且锐角C满足g(C)=-1，若sinB=2sinA，求 $△ A B C$ 的面积.

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29. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 单调，其中 $ω$ 为正整数， $| φ | < \frac{π}{2}$ ，且 $f (\frac{π}{2}) = f (\frac{2 π}{3})$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 图像的一条对称轴；

(2)、若 $f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x (c o s^{2} \frac{x}{2} - s i n^{2} \frac{x}{2}) - \sqrt{3} c o s 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $x \in (0 ， π)$ ，且 $f (x) > - 1$ ，求x的取值范围．

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31. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - c o s 2 x$ .

(1)、求函数f（x）的最小正周期和最大值；

(2)、求函数f（x）的单调递减区间.

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32. 已知函数 $f (x) = c o s x (\sqrt{3} s i n x - c o s x)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求 $f (x) = - 1$ 在 $[0 ， π]$ 上的解．

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33. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x - s i n^{2} x ， g (x) = f (x) \cdot f (x - \frac{π}{3})$

(1)、求 $g (x)$ 的单调递增区间；

(2)、三角形 $A B C$ 的三边a，b，c满足 $(a + b)^{2} - c^{2} = a b$ ，求 $g (A)$ 的取值范围．

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34. 已知函数 $f (x) = 2 s i n x \cdot s i n (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若对任意 $x \in [t ， \frac{π}{3}]$ ，都有 $| f (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} | \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求实数 $t$ 的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - 2 s i n^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $y = f (x + φ) (φ > 0)$ 为偶函数，求 $φ$ 的最小值.

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