【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：正弦函数的图象与性质1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 函数 $y = f (x)$ 的图象由 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 单调递增，直线 $x = \frac{π}{6}$ 和 $x = \frac{2 π}{3}$ 为函数 $y = f (x)$ 的图像的两条对称轴，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 设 $a > 0$ ，函数 $y = s i n x$ 在区间 $[a ， 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$ ，在 $[2 a ， 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$ ，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（）.

A、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} > 0$ B、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} < 0$ C、 $s_{a} > 0$ 且 $t_{a} < 0$ D、 $s_{a} < 0$ 且 $t_{a} > 0$

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5. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x c o s x - c o s^{2} x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{12} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到

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6. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) ， (A > 0 ， ω > 0)$ 在区间 $(0 ， 6)$ 内取得一个最大值 $3$ 和一个最小值 $- 3$ ，且 $f (2) = 3 ， f (5) = - 3$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 设函数 $f (x) = s i n (2 ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $\frac{π}{3} < T < \frac{π}{2}$ ，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，则（）

A、 $f (\frac{π}{2}) = 1$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ 上是减函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上有且仅有两个极值点

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8. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 $y = A s i n ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x + ⋯$ ，记 $f_{n} (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + ⋯ + \frac{1}{n} s i n n x$ ， $n \in N^{*}$ 则下列结论中正确的为（）

A、 $f_{2} (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 B、 $f_{2} (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $f_{n} (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ D、 $| f_{n} (x) | \leq | n x |$

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9. 已知向量 $\vec{m} = (s i n x ， - 1) ， \vec{n} = (c o s x ， c o s^{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有4个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 单调递增 C、 $f (\frac{π}{8} + x) + f (\frac{π}{8} - x) = - 1$ D、直线 $x - y - 1 = 0$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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10. 将函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $(0 ， \frac{π}{ω})$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间，且 $g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有5个零点，则 $ω =$ （）

A、1 B、5 C、9 D、13

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 对任意 $x \in (0 ， \frac{3 π}{8})$ 都有 $f (x) > \frac{1}{2}$ ，则当 $ω$ 取到最大值时， $f (x)$ 图象的一条对称轴为（）

A、 $x = \frac{π}{8}$ B、 $x = \frac{3 π}{16}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = \frac{3 π}{4}$

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12. “ $0 < t < \frac{π}{6}$ ”是“函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 在区间 $(- t ， t)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13. 设函数 $f (x) = 2 s i n (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0 ， π)$ 恰有三个极值点、三个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{8}{3} ， \frac{13}{6})$ B、 $[\frac{8}{3} ， 3)$ C、 $(\frac{13}{6} ， 3]$ D、 $(\frac{8}{3} ， \frac{19}{6}]$

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14. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + ϕ)$ （ $ω > 0 ， 0 \leq ϕ \leq π$ ）的部分图象如图所示，其中 $A ， B$ 两点之间的距离为5，则 $f (x)$ 的递增区间是（）

A、 $[6 k - 1 ， 6 k + 2] (k \in Z)$ B、 $[6 k - 4 ， 6 k - 1] (k \in Z)$ C、 $[3 k - 1 ， 3 k + 2] (k \in Z)$ D、 $[3 k - 4 ， 3 k - 1] (k \in Z)$

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + \sqrt{3} c o s ω x (ω > 0)$ ， $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值是 $\frac{π}{2}$ ．若关于x的方程 $f (x) = 1$ 在 $[m ， n] (m < n)$ 上有2023个零点，则 $n - m$ 的最小值是

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16. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + c o s ω x^{} (ω > 0)$ ， $f (x_{1}) = 0$ ， $f (x_{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | 的最小值为 π$ ，则 $ω$ =

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17. 已知函数 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{2}) c o s (x + \frac{π}{4})$ ，若 $x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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18. 若函数 $y = s i n (ω x - \frac{π}{3})$ （常数 $ω > 0$ ）在区间 $(0 ， π)$ 没有最值，则 $ω$ 的取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n x - c o s x$ ，若将 $f (x)$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个对称中心为．

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20. 已知函数 $y = s i n (2 ω x + φ)$ ， $(ω > 0)$ 的最小正周期为1，则 $ω =$ .

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21. 规定： $M a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b ， \\ b ， a < b . \end{array}$ 设函数 $f (x) = M a x {s i n ω x ， c o s ω x} (ω > 0)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是．

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22. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为T．若 $f (\frac{T}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} ， x = \frac{π}{8}$ 为 $f (x)$ 的极小值点，则 $ω$ 的最小值为．

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23. 已知函数 $f (x) = 4 s i n x c o s x - 2 s i n^{2} x + 2 c o s^{2} x + 1$ ，则下列说法中正确的是．
① $f (x)$ 一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ；
②将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；
③若 $f (\frac{x}{2}) = \sqrt{5} + 1$ ，则 $t a n x = 4 \pm \sqrt{15}$ ；
④若函数 $y = f (\frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上恰有2个极大值点，则实数 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{17}{4} ， \frac{25}{4})$ ．

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24. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，其图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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三、解答题

25. 设函数 $f (x) = s i n ω x c o s φ + c o s ω x s i n φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $φ$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在，求 $ω ， φ$ 的值．
条件①： $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{2}$ ；

条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ ；

条件③： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}]$ 上单调递减．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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26. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (2 x)$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上单调递增，求实数 $m$ 的最大值．

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27. 在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 5$ ， $b = 8$ ，设 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角为 $θ$ ．

(1)、当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，求 $c$ 及△ $A B C$ 的面积；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数 $f (θ) = 2 c o s^{2} (\frac{π}{4} + θ) - \sqrt{3} c o s 2 θ$ 的最大值与最小值．
条件①： $0 \leq c o s θ \leq s i n θ$ ；条件②： $0 \leq \vec{C A} \cdot \vec{C B} \leq 20 \sqrt{2}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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28. 若函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{5 π}{12}) - \sqrt{3} c o s (ω x + \frac{π}{12})$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若 $ω = 2$ ，求 $f (\frac{π}{6})$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上没有零点，求 $ω$ 的取值范围.

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29. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边，且满足 $(a + b + c) (a + b - c) = 3 a b$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{a + 2 b}{c}$ 的取值范围.

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30. 在平面直角坐标系中，将曲线 $C_{1}$ 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 得到曲线 $C_{2}$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s α$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的参数方程；

(2)、已知点 $M$ 在第一象限，四边形 $M N P Q$ 是曲线 $C_{2}$ 的内接矩形，求内接矩形 $M N P Q$ 周长的最大值，并求周长最大时点 $M$ 的坐标．

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31. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0)$ 的图象是由 $y = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到的.

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 的图象与y轴距离最近的对称轴方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 上有且仅有一个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x) = s i n x c o s x - \sqrt{3} c o s^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - m = 0$ 在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间及对称轴方程；

(2)、若在 $△ A B C$ 中，角A，B、C所对的边分别为a，b，c，且 $f (A) = 2$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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34. 已知 $a ， b ， c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ，且 $a c s i n B = 8 s i n A$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $s i n A s i n B s i n C$ 的取值范围．

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35. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \sqrt{2} c o s θ \\ y = 1 + \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设射线 $l_{1} ： θ = π (ρ \geq 0)$ 和射线 $l_{2} ： θ = \frac{π}{2} + α (ρ \geq 0 ， 0 \leq α < \frac{π}{2})$ 分别与曲线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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