【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：任意角的三角函数之诱导公式1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $f (x)$ 为函数 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得函数，则 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 函数 $y = f (x)$ 的图象由 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到，则 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知α∈R，则cos（π-α）=（）

A、sinα B、-sinα C、cosα D、-cosα

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4. 函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数 $g (x) = (1 + \sqrt{3}) c o s 2 x$ ．若关于x的方程 $f (x) + g (x) = - \frac{1}{2}$ 在 $[0 ， π)$ 内有两个不同的解α，β，则 $c o s (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. $s i n 155 ° s i n 55 ° + c o s 25 ° c o s 55 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $s i n^{2} (π - θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} c o s (\frac{3 π}{2} + θ) ， 0 < | θ | < \frac{π}{2}$ ，则θ等于（）

A、 $-$ $\frac{π}{6}$ B、 $-$ $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $t a n (α + \frac{π}{4}) = 3 c o s 2 α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{5}{6}$

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8. 已知 $\sqrt{3} s i n α - s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $c o s (\frac{4 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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9. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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10. cos300°=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知 $c o s (α + \frac{π}{12}) + c o s (α + \frac{7 π}{12}) = \frac{1}{5}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{23}{25}$ B、 $\frac{23}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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12. 已知 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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13. 已知 $s i n α - 3 c o s α = 0$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题

14. 若 $3 \sin α - \sin β = \sqrt{10} ， α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $\sin α =$ ， $\cos 2 β =$ ．

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ，则 $B =$ .

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16. $\frac{c o s 70 ° - c o s 20 °}{c o s 65 °} =$ ．

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17. 锐角 $α$ 满足 $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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18. 写出一个使等式 $\frac{s i n α}{s i n (α + \frac{π}{6})} + \frac{c o s α}{c o s (α + \frac{π}{6})} = 2$ 成立的 $α$ 的值为．

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19. 能说明“若 $s i n α = c o s β$ ，则 $α + β = k \cdot 36 0^{∘} + 9 0^{∘}$ ，其中 $k \in Z$ ”为假命题的一组 $α$ ， $β$ 的值是．

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20. 已知 $c o s (\frac{π}{2} - α) = - \frac{4}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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21. $\frac{\sqrt{3} \cos 20 ° - \sin 20 °}{\cos 20 ° \cos 70 °} =$ ．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线 $y = x$ 对称.若 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (α - β) =$ .

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23. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为．

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24. 若 $c o s α = - \frac{1}{4}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ .

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三、解答题

25. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{cos A}{1 + sin A} = \frac{sin 2 B}{1 + cos 2 B} .$

(1)、若 $C = \frac{2 π}{3} ，$ 求B；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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26. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 b s i n C \cdot t a n \frac{A}{2} = a$ .

(1)、若角 $B = \frac{π}{6}$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 4$ ， $c o s 2 A = \frac{1}{8}$ ，求 $b$ .

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27. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{1 - c o s 2 B}{s i n 2 B}$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、求 $\frac{a^{2}}{c^{2}} - \frac{5 a}{4 c c o s B}$ 的最小值．

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28. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $s i n A = \sqrt{3} s i n B$ .从① $2 a = \sqrt{3} c$ ， ② $\frac{\sqrt{3}}{3} s i n A s i n C - c o s B c o s C = \frac{1}{2}$ ， ③ $C = \frac{π}{2}$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在线段 $B A$ 的延长线上，且 $∠ A C D = \frac{π}{4}$ ，若 $A B = 2$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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29. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b = \sqrt{3}$ ， $a < c$ ，且 $s i n (\frac{π}{3} - A) c o s (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a s i n A + c s i n C = 4 \sqrt{3} s i n B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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30. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E，F是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的两个动点．

(1)、若 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，求 $E F$ 的长度；

(2)、若 $\vec{D_{1} E} = \frac{1}{4} \vec{D_{1} B_{1}}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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31. 设 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $(4 c o s^{2} \frac{B}{2} - 3) s i n A + (2 c o s A - 1) s i n B = 0$

(1)、证明： $a + b = 2 c$ ；

(2)、求 $c o s C$ 的最小值.

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32. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c o s B + s i n \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a ： c = 3 ： 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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33. 如图，在平面四边形ABCD中，E为AD边上一点， $A B = 2$ ， $B C = A E = 3$ ， $C D = D E = 5$ .

(1)、若 $B E = 2$ ，求 $t a n (∠ A B E + ∠ B E A)$ 的值；

(2)、若 $∠ B C D = 120 °$ ，求BE的长.

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34. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $s i n (\frac{π}{2} - C) c o s (\frac{π}{6} - C) + \sqrt{3} s i n^{2} C = \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高的最大值．

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35. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b s i n C = s i n C + \sqrt{3} c o s C$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $c$ ；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．
① $B C$ 边上的中线长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ②AB边上的中线长为 $\sqrt{7}$ ， ③三角形的周长为 $6$ ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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