【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：同角三角函数间的基本关系3

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 在△ABC中，cosC= $\frac{2}{3}$ ，AC=4，BC=3，则tanB=（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、4 $\sqrt{5}$ D、8 $\sqrt{5}$

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2. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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3. 若 $c o s (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{3}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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4. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t a n 2 α = \frac{c o s α}{2 - s i n α}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、 $\frac{3 \sqrt{14}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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5. 若 $θ$ 为第二象限角，且 $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{c o s 2 θ}{1 - 2 s i n^{2} (θ + \frac{π}{4})}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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6. 已知 $(t a n 2 α - t a n α) \cdot c o s 2 α = 2$ ，则 $t a n α =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- 2$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知 $s i n α - c o s α = t a n \frac{19 π}{6}$ ，则 $s i n^{2} (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 已知 $\frac{s i n α + 2 c o s α}{s i n α - c o s α} = 2$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{8}{17}$ B、 $\frac{8}{17}$ C、 $- \frac{8}{15}$ D、 $\frac{8}{15}$

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9. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $s i n (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{16}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{13}{25}$

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10. 已知角 $α$ 的始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边上一点 $P (s i n 3 ， c o s 3)$ ，若 $0 \leq α \leq 2 π$ ，则 $α =$ （）

A、3 B、 $\frac{π}{2} - 3$ C、 $\frac{5 π}{2} - 3$ D、 $3 - \frac{π}{2}$

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11. 已知 $s i n θ + c o s θ = - \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0 ， π)$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $- \frac{7}{5}$

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12. 若 $\tan θ = - 1$ ，则 $\frac{\cos θ (1 - \sin 2 θ)}{\sin θ - \cos θ}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、-1 D、 $- \frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）＝．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2 ， B C = C D$ 且 $B C ⊥ C D$ ，则四边形 $A B C D$ 面积取最大值时， $t a n ∠ D B A =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = | \cos \frac{π}{4} (x + 2) | - \sin \frac{π}{4} (x - 2)$ ，给出下列四个命题：① $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；②8为 $f (x)$ 的一个周期；③当 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x) \in [- 1 ， 1]$ ；④ $f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递增.其中真命题有（填序号）.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 \sqrt{3} ， A C = 3 ， ∠ B A C = 2 ∠ B$ ， D是线段 $B C$ 上一点，且 $A D ⊥ A C$ ，则 $c o s ∠ B =$ ， $A D$ 的长为．

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17. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n α = 2$ ，则 $c o s α =$ .

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18. 已知 $α$ 为锐角，且 $s i n α = \frac{3}{4}$ ，则 $c o s (π - α)$ 的值为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 是边 $A B$ （端点除外）上的一动点.若将 $△ A C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，能使点 $A$ 在平面 $B C D$ 内的射影 $A^{'}$ 落在 $△ B C D$ 的内部（不包含边界），且 $A^{'} C = \frac{\sqrt{7}}{3}$ .设 $A D = t$ ，则t的取值范围是.

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20. 已知 $α$ 为锐角， $c o s (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s α =$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $5 a^{2} + 3 b^{2} = 3 c^{2}$ ，则 $s i n A$ 的取值范围是.

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22. 已知 $θ$ 为第二象限角，若 $t a n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ + c o s θ$ 的值为．

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23. 若 $\frac{c o s (\frac{π}{2} - α) + s i n 2 α}{c o s 2 α + c o s α + 1}$ ＝3，则 $s i n 2 α$ ＝．

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三、解答题

24. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b - c = \frac{\sqrt{3}}{3} a$ ，证明：△ABC是直角三角形．

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25. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 3 ， c = \sqrt{2} ， B = 45 °$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、在边BC上取一点D，使得 $\cos ∠ A D C = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ D A C$ 的值．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $a + b = 11$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\sin C$ 和 $△ A B C$ 的面积．

条件①： $c = 7 ， \cos A = - \frac{1}{7}$ ；

条件②： $\cos A = \frac{1}{8} ， \cos B = \frac{9}{16}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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27. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ．求：

(1)、 $A$ ；

(2)、 $\frac{a - c}{b}$ 的取值范围．

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28. 已知 $△ A B C$ 为非直角三角形， $\frac{s i n A}{s i n B} = c o s (A + B)$ .

(1)、证明： $\frac{t a n C}{t a n B} = - 2$ ；

(2)、求 $c o s A$ 的最小值.

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29. 如图，一架飞机从 $A$ 地飞往 $B$ 地，两地相距 $200 k m$ .飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 $θ$ 角的方向飞行，飞行到 $C$ 地，再沿与原来的飞行方向成 $4 5^{∘}$ 角的方向继续飞行 $60 \sqrt{2} k m$ 到达终点.

(1)、求 $A$ 、 $C$ 两地之间的距离；

(2)、求 $t a n θ$ .

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30. 在① $2 a s i n B - b c o s C - c c o s B = 0$ ， ② $s i n^{2} A - s i n^{2} B + s i n^{2} C - \sqrt{3} s i n A s i n C = 0$ ， ③ $s i n A s i n C - \sqrt{3} s i n B - c o s A c o s C = 0$ 三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足____（填写序号即可）

(1)、求B﹔

(2)、若 $a = 1$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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31. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $∠ C A D = ∠ C B A = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $s i n ∠ B C A$ ；

(2)、求 $B D$ ．

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32. 在△ $A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{a s i n B}{b} - \sqrt{3} c o s A = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、点 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A D = 2 B D$ ， $B C = C D = 3$ ，求△ $A B C$ 的面积.

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33. $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b s i n A c o s C = a (\sqrt{3} c o s A - c o s B s i n C)$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2$ ，且 $b - c = \frac{a}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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34. 已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} s i n \frac{x}{2} ， 1)$ ， $\vec{n} = (c o s \frac{x}{2} ， s i n^{2} \frac{x}{2})$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且_________，求 $f (B)$ 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．

① $\frac{\sqrt{3} c}{a c o s B} + t a n A + t a n B = 0$ ；② $(2 c + b) c o s A + a c o s B = 0$ ；③ $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

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35. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b s i n A = \sqrt{3} a c o s B$ .

(1)、求B：

(2)、若D为边AC的中点，且 $B D = \sqrt{7}$ ， $c = 4$ ，求a.

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36. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{- \sqrt{3} c}{a c o s B} = t a n B + t a n A$ .

(1)、求A；

(2)、若D为BC上一点，且 $B C = 3 B D = \sqrt{3} A B$ ， $A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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