【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：同角三角函数间的基本关系2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $\sin (α + β) + \cos (α + β) = 2 \sqrt{2} \cos (α + \frac{π}{4}) \sin β$ ，则（）

A、 $\tan (α + β) = - 1$ B、 $\tan (α + β) = 1$ C、 $\tan (α - β) = - 1$ D、 $\tan (α - β) = 1$

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2. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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3. 若tan $θ$ =-2,则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ}$ =（）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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4. 设钝角 $α$ 满足 $\frac{c o s 2 α - s i n α}{1 - 2 s i n α} = \frac{8}{5}$ ，则 $t a n (α + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、-7

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5. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，若 $\frac{1 + s i n 2 α}{1 + c o s 2 α} = \frac{9}{2}$ ，则 $t a n 2 α$ 的值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 已知 $\frac{s i n θ}{1 + c o s θ} = 2$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 已知 $θ$ 为第一象限角. $s i n θ - c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n 2 θ =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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8. 已知 $s i n α - \sqrt{2} c o s α = 0$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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9. 已知 $c o s α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $t a n α$ 等于（）

A、 $- 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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10. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上， $P B = P C = 2 \sqrt{5} ， A B = A C = 4$ ， $P A = B C = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{316}{15} π$ B、 $\frac{79}{15} π$ C、 $\frac{158}{5} π$ D、 $\frac{79}{5} π$

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11. 已知 $s i n α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $α$ 为钝角， $t a n (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n β =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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12. 在 $△ A B C$ 中，若 $s i n A$ ， $c o s B$ 分别是方程 $6 x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个根，则 $s i n C =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6} - 1}{6}$ C、 $- \frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{1 + 2 \sqrt{6}}{6}$

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13. 已知角 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，且 $s i n 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

14. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $s i n (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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15. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为4、5、7，记 $△ A B C$ 的三个内角的正切值所组成的集合为 $M$ ，则集合 $M$ 中的最大元素为.

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16. 已知 $s i n \frac{α}{2} + c o s \frac{α}{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n α =$ .

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17. 曲线 $f (x) = \frac{s i n x + c o s x}{s i n x - c o s x}$ 的一个对称中心为（答案不唯一）.

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18. 已知 $8 t a n^{3} θ + 2 t a n θ - \frac{4}{c o s^{2} θ} > - 3$ ，则 $t a n (θ + \frac{7 π}{4})$ 的取值范围为.

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19. 在 $△ A B C$ 中，已知 $C A = 1 ， C B = \sqrt{2} ， A - B = \frac{3 π}{4}$ ，则 $t a n B =$ ， $A B =$ ．

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20. 若 $t a n α = \frac{3}{4} (α \in (π ， \frac{3 π}{2}))$ ，则 $c o s 2 α =$ ； $\frac{s i n α}{1 + c o s α} =$ ．

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21. 若 $t a n θ = - 1$ ， $θ \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ .

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22. 如图，已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 为 $C$ 上在第二象限内一点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交 $P F_{1}$ 于点 $A$ ，若 $O A ∥ P F_{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为，直线 $P F_{1}$ 的方程为.

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23. 已知 $s i n θ = \frac{1}{3} (\frac{π}{2} < θ < π)$ ，则 $t a n θ =$ ； $c o s 2 θ =$ .

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三、解答题

24. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边长分别为 $a ， b ， c ， b = a + 1 ， c = a + 2$ ．

(1)、若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、是否存在正整数a，使得 $△ A B C$ 为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

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25. 从① $(b - 2 c) \cos A + a \cos B = 0$ ；② $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ ；③ $b (\tan A + \tan B) = 2 c \tan B$ 这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且__________.

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围.

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26. 已知 $0 < α < \frac{π}{4}$ ， $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求 $c o s α$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $c o s (α - β) = \frac{3}{5}$ ，求 $c o s β$ 的值.

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27. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P$ ，且点 $P$ 在圆 $C$ ： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上.

(1)、若 $P$ 点的横坐标为-3，求 $s i n 2 α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = - \frac{1}{2}$ ，求 $s i n β$ 的最大值.

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28. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示：

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $α \in (0 ， π)$ ，求 $c o s 2 α$ 的值．

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29. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求AB的长；

(2)、求 $c o s A$ ；

(3)、求 $c o s (2 A - \frac{π}{6})$ 的值.

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30. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s B = \frac{b + 2 c}{2 a}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $b = 2$ ， $c = 3$ .
（i）求 $a$ 的值；
（ii）求 $c o s (2 B - A)$ 的值.

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31. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos B = \frac{a}{c} - \frac{b}{2 c}$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $c = 2 a$ ，求 $\sin B$ ．

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32. 一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从 $(0 ， - 2)$ 与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1.

(1)、求B的前进方向与x轴正向间的夹角 $θ$ ；

(2)、当A､B间距离最短时，求A､B的坐标.

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33. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D ， A B = 1 ， A D = \sqrt{3} ， B C = \sqrt{2}$ ．

(1)、若 $C D = 2$ ，求 $s i n ∠ A D C$ ；

(2)、若 $∠ C = 45 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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34. 如图， $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $P B ⊥ P C ， A C = B P = 2$ .

(1)、若 $A B = \sqrt{6} ， P C = \sqrt{2}$ ，求 $s i n ∠ A C P$ 的值；

(2)、若 $A B = \sqrt{5} ， s i n ∠ A C P = \frac{1}{10}$ ，求 $A P$ 的长.

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35. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在边AC上，BM平分 $∠ A B C$ ， △ABM的面积是△BCM面积的2倍.

(1)、求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ ；

(2)、若 $c o s B = \frac{1}{4}$ ， $b = 2$ ，求△ABC的面积.

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