【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：同角三角函数间的基本关系1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. “ $s i n^{2} α + s i n^{2} β = 1$ ”是“ $s i n α + c o s β = 0$ ”的（）

A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件 C、充要条件 D、既不是充分条件也不是必要条件

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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4. 已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2 ， 1)$ ，则 $t a n (α + β) =$ （）

A、2 B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{11}{12}$

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5. 若 $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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6. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则下列命题正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，则 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ B、若 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， t)$ ， $\vec{b} = (c o s α ， s i n α)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $| \vec{a} - \vec{b} | ≥ \sqrt{3}$ ，记向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，则θ的最小值为 $\frac{2 π}{3}$ . D、若 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{2 π}{3}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{2} \vec{a}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，若 $t a n \frac{A + B}{2} = s i n C$ ，则下列论断正确的是（）

A、 $\frac{t a n A}{t a n B} = 1$ B、 $s i n A + s i n B ≤ \sqrt{2}$ C、 $s i n^{2} A + c o s^{2} B = 1$ D、 $c o s^{2} A + c o s^{2} B = s i n^{2} C$

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8. 在 $△ A B C$ 中，若 $c = 4$ ， $b - a = 1$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）．

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{4}$

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9. 已知 $α$ 为第三象限角， $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 α + 2 s i n 2 α = 1$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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11. 已知第二象限角 $α$ 满足 $s i n (π + α) = - \frac{2}{3}$ ，则 $s i n 2 β - 2 s i n (α + β) c o s (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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12. 已知 $s i n^{2} α = c o s α - 1$ ，则 $s i n (α + \frac{3 π}{2}) =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4 ， b = 5 ， c = 6$ ，求 $s i n A =$ ；

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14. 若 $t a n θ = 2$ ，则 $\frac{s i n θ c o s 2 θ}{c o s θ - s i n θ} =$ .

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15. 若 $π < θ < \frac{3 π}{2}$ 且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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16. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\frac{1}{s i n^{2} θ} + \frac{4}{c o s^{2} θ}$ 的最小值为

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17. 设 $△ A B C$ 的三边a，b，c满足 $a ： b ： c = 7 ： 5 ： 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 15 \sqrt{3}$ ，则此三角形最长的边长为．

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18. 已知 $\frac{π}{2} < θ < π$ ，且 $c o s θ = - \frac{4}{5}$ ，则 $t a n 2 θ =$ ．

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19. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若 $5 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ ，则 $s i n 2 A =$ ．

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20. 已知 $s i n θ + c o s θ = 2 s i n α$ ， $s i n θ c o s θ = s i n^{2} β$ ，则 $4 c o s^{2} 2 α - c o s^{2} 2 β =$ ．

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21. 已知函数 $f (x) = 3 s i n x + 4 c o s x$ ，且对任意实数x都有 $f (x) = f (2 α - x) (α \in R)$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为．

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22. 已知 $α$ 为锐角， $1 + \frac{\sqrt{3}}{t a n 80 °} = \frac{1}{s i n α}$ ，则 $α =$ ．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $a = 4$ ， $c o s A = \frac{3}{5}$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

24. 在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ .

(1)、求 $s i n ∠ A B C$ ；

(2)、若D为BC上一点，且 $∠ B A D = 90 °$ ，求 $△ A D C$ 的面积.

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25. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 $a = \sqrt{6} ， b = 2 c ， c o s A = - \frac{1}{4}$ .

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、求 $s i n B$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 A - B)$ 的值.

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在以原点 $O$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 后交该圆于点 $B$ ，设点 $B$ 的横坐标为 $f (α)$ ，纵坐标 $g (α)$ .

(1)、如果 $s i n α = m$ ， $0 < m < 1$ ，求 $f (α) + g (α)$ 的值（用 $m$ 表示）；

(2)、如果 $\frac{f (α)}{g (α)} = 2$ ，求 $f (α) \cdot g (α)$ 的值.

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27. 在 $△ A B C$ 中， $c o s A = - \frac{5}{13} ， c o s B = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、若 $A B = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长和面积．

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28. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ， $A C = A D = 7$ ， $A B = 3$ ．

(1)、若 $D B = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求 $B D$ ．

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29. 已知 $△ A B C$ 中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知 $(1 - s i n C) (1 - c o s 2 B) = s i n 2 B c o s C ， a = 2 c = 2$ ．

(1)、证明： $C = 2 B - \frac{π}{2}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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30. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $B D = B C$ ， $∠ D B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ D A B = θ$ ， $s i n θ + c o s θ = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

(1)、求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、求线段 $A C$ 的长度.

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31. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a c o s^{2} \frac{C}{2} + c c o s^{2} \frac{A}{2} = \frac{3}{2} b$ .

(1)、证明： $s i n A + s i n C = 2 s i n B$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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32. 在平面直角坐标系 $O x y$ 中，锐角 $α ， β$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆 $O$ 的交点分别为 $P ， Q$ .已知点 $P$ 的纵坐标为 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ ，点 $Q$ 的横坐标为 $\frac{13}{14}$ .

(1)、求 $c o s (α - β)$ 的值；

(2)、记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若 $C = α - β$ ，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.
②若 $A = α ， B = β$ ，且 $c = 11$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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33. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} (b - a c o s C) = c s i n A$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，点D在线段AC上，且 $A D = \frac{1}{3} A C$ ，求BD的最小值．

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34. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = \frac{3 π}{4}$ ， $c o s ∠ D B C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、证明： $A C ⊥ B D$ ．

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35. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} (x + \frac{π}{4}) + \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) (s i n x - c o s x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心及最小正周期；

(2)、若 $θ \in (- \frac{π}{8} ， \frac{3 π}{8})$ ， $f (θ) = \frac{6}{5}$ ，求 $t a n θ$ 的值．

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