【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：任意角的三角函数2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $a = \frac{31}{32} ， b = \cos \frac{1}{4} ， c = 4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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2. 在平面坐标系中， $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ ， $\overset{⌢}{E F}$ ， $\overset{⌢}{G H}$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 $α$ 以Ox为始边，OP为终边，若 $\tan α < \cos α < \sin α$ ，则P所在的圆弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{C D}$ C、 $\overset{⌢}{E F}$ D、 $\overset{⌢}{G H}$

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3. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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4. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $B (1 ， c) (c > 1)$ ，射线 $O B$ 与圆 $O$ 交于点 $A (a ， b)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a b < \frac{1}{2}$ C、 $\log_{a} c < b^{a} < a^{b}$ D、 $1 < a + b < \sqrt{2}$

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5. 下列命题正确的是（）

A、若 $α$ 是锐角，则 $\tan α > α > \sin α$ B、若 $α ， β$ 都是锐角，则 $\sin α + \sin β > \sin (α + β)$ C、若 $α ， β$ 都是锐角，且 $\sin α = α \cos β$ ，则 $α < β$ D、若 $α ， β$ 都是任意角，且 $\cos (α + β) = \cos α + \cos β$ ，则 $\cos α$ 的最大值为 $\sqrt{3} - 1$

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6. 设 $a = sin 33^{\circ} ， b = cos 55^{\circ} ， c = tan 35^{\circ}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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7. 函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \cos (2 x - \frac{π}{3})$ 的最小正周期和振幅分别是（）

A、 $π ， \sqrt{2}$ B、 $π ， 2$ C、 $2 π ， 1$ D、 $2 π ， \sqrt{2}$

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8. 已知 $s i n (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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9. 已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2 ， 1)$ ，则 $t a n (α + β) =$ （）

A、2 B、 $\frac{10}{11}$ C、 $\frac{11}{10}$ D、 $- \frac{11}{12}$

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10. 若 $t a n α = \frac{c o s α}{3 - s i n α}$ ，则 $s i n (2 α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则下列命题正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，则 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ B、若 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2} ， t)$ ， $\vec{b} = (c o s α ， s i n α)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $| \vec{a} - \vec{b} | ≥ \sqrt{3}$ ，记向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为θ，则θ的最小值为 $\frac{2 π}{3}$ . D、若 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = \frac{2 π}{3}$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{1}{2} \vec{a}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，若 $t a n \frac{A + B}{2} = s i n C$ ，则下列论断正确的是（）

A、 $\frac{t a n A}{t a n B} = 1$ B、 $s i n A + s i n B ≤ \sqrt{2}$ C、 $s i n^{2} A + c o s^{2} B = 1$ D、 $c o s^{2} A + c o s^{2} B = s i n^{2} C$

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13. 在 $△ A B C$ 中，若 $c = 4$ ， $b - a = 1$ ， $c o s C = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）．

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{4}$

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14. 已知 $α$ 为第三象限角， $s i n α - c o s α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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15. 已知 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 α + 2 s i n 2 α = 1$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16. 已知 $s i n^{2} α = c o s α - 1$ ，则 $s i n (α + \frac{3 π}{2}) =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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17. 已知第二象限角 $α$ 满足 $s i n (π + α) = - \frac{2}{3}$ ，则 $s i n 2 β - 2 s i n (α + β) c o s (α - β)$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$

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二、填空题

18. 若 $θ \in (0 ， \frac{π}{2}) ， t a n θ = \frac{1}{2}$ ，则 $s i n θ - c o s θ =$ ．

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19. 已知 $a = 2 sin \frac{1}{2} ， b = 3 sin \frac{1}{3} ， c = 3 cos \frac{1}{3} ，$ 则 $a ， b ， c$ 的大小关系是．

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20. 已知sin43°=a，则a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ （填“＞”或“＜”）；sin73°=（用a表示）

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21. 已知α∈[0，π]，
（I）若cosα= $\frac{1}{2}$ ，则tan2α=；
（II）若sinα＞cosα＞ $\frac{1}{2}$ ，则α的取值范围是．

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22. 已知 $x$ 是第二象限的角，且 $c o s (\frac{π}{2} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (x + \frac{π}{4}) =$ .

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23. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n (α - \frac{π}{4}) c o s (α + \frac{π}{4})}{s i n 2 α} =$ ．

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24. 设 $x ， y$ 均为非零实数，且满足 $\frac{x s i n \frac{π}{5} + y c o s \frac{π}{5}}{x c o s \frac{π}{5} - y s i n \frac{π}{5}} = t a n \frac{9 π}{20}$ ，则 $\frac{y}{x} =$ .

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25. 已知常数 $θ$ 满足 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{3} s i n 2 θ$ ，其中 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x) = 2 s i n (x + θ)$ ，则 $f (x)$ 的最大值为，当 $f (x)$ 取得最大值时， $s i n (x - \frac{π}{4}) =$ ．

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26. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $s i n (2 α - \frac{π}{4}) =$ .

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27. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $c o s 2 α =$ ．

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28. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ . $s i n \frac{B + C}{2} c o s \frac{B + C}{2} = 4 - 4 c o s^{2} \frac{A}{2}$ ， $b + c = 10$ ， $△ A B C$ 的面积为4，则 $a =$ .

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29. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π) ， 2 s i n 2 α = c o s 2 α - 1$ ，则 $t a n α =$ ．

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30. 已知 $2 s i n α = 5 c o s α$ ，则 $s i n 2 α + c o s^{2} α =$ .

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31. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $t a n α = - \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α =$ .

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三、解答题

32. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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33. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点 $P (\frac{4}{5} ， y_{1})$ .

(1)、求 $y_{1}$ 的值；

(2)、将角 $α$ 的终边绕坐标原点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $β$ 后与单位圆交于点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\frac{y_{2}}{x_{2}}$ 的值.
① $β = \frac{π}{2}$ ；② $β = π$ ；③ $β = \frac{3 π}{2}$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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34. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a c o s (B - C) = (2 \sqrt{3} c s i n B - a) c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{b^{2} + a^{2}}{b}$ 的取值范围.

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35. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{s i n 2 B}{1 + c o s 2 B} = \frac{t a n C + 1}{t a n C - 1}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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