【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：任意角的三角函数1

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）

A、4β+4cosβ B、4β+4sinβ C、2β+2cosβ D、2β+2sinβ

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2. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α= $\frac{2}{3}$ ，则|a-b|=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、1

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3. 在平面坐标系中， $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ ， $\overset{⌢}{E F}$ ， $\overset{⌢}{G H}$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 $α$ 以Ox为始边，OP为终边，若 $\tan α < \cos α < \sin α$ ，则P所在的圆弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{C D}$ C、 $\overset{⌢}{E F}$ D、 $\overset{⌢}{G H}$

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4.
如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$

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5. 已知 $α ， β \in (0 ， π)$ ，则“ $s i n α + s i n β < \frac{1}{3}$ ”是“ $s i n (α + β) < \frac{1}{3}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{8} - s i n \frac{π}{8} ， c o s \frac{π}{8} + s i n \frac{π}{8})$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 设 $ω > 0$ ，若在区间 $[π ， 2 π)$ 上存在a，b且 $a < b$ ，使得 $s i n (ω a) + c o s (ω b) = 2$ ，则下列所给的值中 $ω$ 只可能是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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8. 在平面直角坐标系中，角 $α$ ， $β$ 均以坐标原点为顶点， $x$ 轴的正半轴为始边．若点 $(1 ， 2)$ 在角 $α$ 的终边上，点 $(- 2 ， 6)$ 在角 $β$ 的终边上，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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9. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P B ⊥ B C$ ，记 $∠ P C A = α$ ， $∠ P C B = β$ ， $∠ A C B = γ$ ，则下列正确的是（）

A、 $c o s α < c o s β$ B、 $c o s β < c o s γ$ C、 $c o s γ = \frac{c o s β}{c o s α}$ D、若 $t a n α = s i n γ$ ，则 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $45 °$

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10. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $α$ 以 $x$ 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α$ 的一个可能取值为（）

A、 $- 60 °$ B、 $- 30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，终边与单位圆交于点 $P (x_{0} ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\pm \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 如图， $c o s (θ + \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $\overset{⌢}{A B} ， \overset{⌢}{C D} ， \overset{⌢}{E F} ， \overset{⌢}{G H}$ 分别是单位圆上的四段弧，点 $P$ 在其中一段上，角 $α$ 以 $O x$ 为始边， $O P$ 为终边．若 $s i n α < c o s α < t a n α$ ，则 $P$ 所在的圆弧是（）

A、 $\overset{⌢}{A B}$ B、 $\overset{⌢}{C D}$ C、 $\overset{⌢}{E F}$ D、 $\overset{⌢}{G H}$

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14. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{B D}$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上， $M N ⊥ O B$ ， $K N ⊥ O B$ ．记 $α = ∠ A O B$ ， $β = ∠ A O C$ ， $γ = ∠ B O D$ ， $δ = ∠ C O D$ ，则（）

A、 $s i n β = s i n γ c o s δ$ B、 $c o s β = c o s γ c o s δ$ C、 $s i n α = \frac{s i n δ}{c o s β}$ D、 $c o s α = \frac{c o s γ c o s δ}{c o s β}$

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二、填空题

15. 已知点P在圆x²+y²=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则 $\vec{A O}$ • $\vec{A P}$ 的最大值为．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $s i n (2 θ - \frac{π}{2})$ 的值为.

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17. 已知函数 $y = 2 l n (x + 1) + s i n x$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角为α，则 $c o s α =$ ．

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18. 在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， 1)$ 绕着原点 $O$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到点 $B$ ，点 $B$ 的横坐标为.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的终边经过点 $(1 ， 2)$ ，则 $c o s^{2} θ + s i n 2 θ =$ ．

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20. 某游乐场中的摩天轮作匀速圆周运动，其中心距地面20.5米，半径为20米．假设从小军同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第6分钟第一次到达最高点．则第10分钟小军同学离地面的高度为米．

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21. 如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $t a n 2 α =$ ．

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22. 已知角θ的终边过点 $A (3 ， y)$ ，且 $\sin (π + θ) = \frac{4}{5}$ ，则tanθ= ．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分∠AOC，B（ $\frac{3}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ），则点C的横坐标为.

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24. 某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为 $20 c m$ 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差 $h$ 为 $8 c m$ ，则圆弧的半径为 $c m$ .

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25. 如图，已知扇形 $A O B$ 的半径为 $10$ ，以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系， $\vec{O A} = (10 ， 0)$ ， $\vec{O B} = (6 ， 8)$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ 的坐标为.

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三、解答题

26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在以原点 $O$ 为圆心半径等1的圆上，将射线 $O A$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $α$ 后交该圆于点 $B$ ，设点 $B$ 的横坐标为 $f (α)$ ，纵坐标 $g (α)$ .

(1)、如果 $s i n α = m$ ， $0 < m < 1$ ，求 $f (α) + g (α)$ 的值（用 $m$ 表示）；

(2)、如果 $\frac{f (α)}{g (α)} = 2$ ，求 $f (α) \cdot g (α)$ 的值.

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27. 已知角 $α$ 的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{5}{13} ， \frac{12}{13})$ .

(1)、求 $s i n (\frac{3}{2} π + α)$ 的值；

(2)、求值： $s i n (2 α - \frac{π}{6}) + c o s 2 α$ .

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28. 在极坐标系中，O为极点，直线 $θ = α (α \in [0 ， π) ， ρ \in R)$ 与以点 $C (3 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ 为圆心，且过点 $M (3 ， \frac{π}{2})$ 的圆相交于A，B两点．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{O A}$ ，求 $s i n α + c o s α$ ．

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29. 在极坐标系中，射线 $θ = α$ 与以 $C (5 \sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ 为圆心， $5$ 为半径的圆相交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $\vec{A B} = 4 \vec{O A}$ ，求 $s i n α + c o s α$ ．

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30. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过一点 $P (- 3 ， t)$ ．

(1)、若 $t = 4$ ，求 $\sin (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $t = \sqrt{3}$ 且 $α \in (0 ， 2 π)$ ，求 $f (x) = \sin (x + α) + \cos x$ 的单调增区间．

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31. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），直线 l 经过点 $M (- 1, - 3 \sqrt{3})$ 且倾斜角为 α .

(1)、求曲线 C 的极坐标方程和直线 $l$ 的参数方程；

(2)、已知直线 l 与曲线 C 交于 A, B，满足 A 为 MB 的中点，求 tanα .

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32. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边经过单位圆上一点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $\sin (α + π)$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $c o s (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos β$ 的值．

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33. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $P (- 3, \sqrt{3})$ .

(1)、求行列式 $| \begin{matrix} sin α & 1 \\ tan α & cos α \end{matrix} |$ 的值；

(2)、若函数 $f (x) = cos (x + α) cos α + sin (x + α) sin α$ $(x \in R)$ ，求函数 $y = \sqrt{3} f (\frac{π}{2} - 2 x) + 2 f^{2} (x)$ 的最大值，并指出取得最大值时 $x$ 的值.

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34. 如图，在单位圆上，∠AOB＝a( $\frac{π}{6} < α < \frac{π}{2}$ )，∠ BOC＝ $\frac{π}{3}$ ，且△AOC的面积等于 $\frac{2 \sqrt{3}}{7}$ ．

（I）求 sina 的值；

（II）求 2cos( $\frac{α}{2} - \frac{π}{3}$ )sin $\frac{α}{2} + \frac{π}{6}$ )

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35. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 都在单位圆 $O$ 上， $∠ x O A = α$ ，且 $α \in (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{13}{14}$ ，求 $x_{1}$ 的值；

(2)、若 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，求 $y = x_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 的取值范围.

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