甘肃省兰州市兰州市教育局第四片区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $8 x + 1 < 7 x$ ，则下列变形正确的是（）

A、 $15 x < - 1$ B、 $x < 1$ C、 $x < - 1$ D、 $x > - 1$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

A、 $a^{2} + 4 a - 21 = a (a + 4) - 21$ B、 $a^{2} + 4 a - 21 = (a - 3) (a + 7)$ C、 $(a - 3) (a + 7) = a^{2} + 4 a - 21$ D、 $a^{2} + 4 a - 21 = {(a + 2)}^{2} - 25$

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4. 把 $2 x (a - b) - 4 y (b - a)$ 分解因式（）

A、 $(a - b) (2 x - 4 y)$ B、 $(a - b) (2 x + 4 y)$ C、 $2 (a - b) (x - 2 y)$ D、 $2 (a - b) (x + 2 y)$

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5. 多项式 $- 4 a^{2} b^{2} + 12 a^{2} b^{2} - 8 a^{3} b^{2} c$ 的公因式是（）．

A、 $- 4 a^{2} b^{2} c$ B、 $- a^{2} b^{2}$ C、 $- 4 a^{2} b^{2}$ D、 $- 4 a^{3} b^{2} c$

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6. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{a}{x - 2} = \frac{1 - x}{2 - x} - 3$ 的解是 $0$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、 $5$ D、 $- 5$

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7. “五一”节期间，几名同学在老师的组织下租了一辆旅游中巴车前往海藏公园游玩，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 3$ B、 $\frac{180}{x + 2} - \frac{180}{x} = 3$ C、 $\frac{180}{x} - \frac{180}{x - 2} = 3$ D、 $\frac{180}{x - 2} - \frac{180}{x} = 3$

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8. 平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $B C$ 于点E， $A D = 8 ， B E = 3$ ，则平行四边形 $A B C D$ 的周长是（）

A、11 B、13 C、22 D、26

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10. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点O， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，且 $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2 A B$ ，连接 $O E$ ，下列结论：① $∠ C A D = 30 °$ ；② $O D = A B$ ；③ $S_{平行四边形 A B C D} = A C \cdot C D$ ；④ $S_{四边形 O E C D} = \frac{3}{2} S_{△ A O D}$ ；⑤ $O E = \frac{1}{4} A D$ ．其中成立的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是．

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12. 在平面直角坐标系中，如果点 $M (- 1 ， a - 1)$ 在第三象限，那么 $a$ 的取值范围是．

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13. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移 $3 c m$ 得到 $△ D E F$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 $16 c m$ ，则四边形 $A B F D$ 的周长为．

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14. 若一个正多边形的一个内角是 $156 °$ ，则这个正多边形的边数是．

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15. 若 $x^{2} - (m + 2) x + 16$ 可以用完全平方式来分解因式，则 $m$ 的值为．

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16. 已知x，y，z满足 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，则分式 $\frac{x + z}{y}$ 的值为．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = B C$ ， AD平分 $∠ B A C$ 交BC于D， $D E ⊥ A B$ 于E．求证： $△ A C D ≌ △ A E D$ ；

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18. 因式分解：

(1)、 $2 x^{2} - 18$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 12 x y + 12 y^{2}$ ；

(3)、 $9 x^{2} (a - b) + 16 y^{2} (b - a)$ ；

(4)、 ${(y^{2} - 1)}^{2} - 6 (y^{2} - 1) + 9$ .

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19. 已知 $m + n = 4 ， m n = - 1$ ，求下列各式的值．

(1)、 $m^{2} n + m n^{2}$

(2)、 $m^{2} + n^{2}$ ．

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20. 分解因式 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了a的值，分解的结果是 $(x + 6) (x - 1)$ ，乙看错了b的值，分解的结果为 $(x - 2) (x + 1)$ ．

(1)、求a、b的值．

(2)、分解因式 $x^{2} + a x + b$ 的正确答案是什么？

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21. 化简求值： $(\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = - 3$ ．

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22. 解下列方程：

(1)、 $\frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$

(2)、 $\frac{x}{2 x - 3} + \frac{5}{3 - 2 x} = 4$

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23. 为落实“双减”政策，某校让学生每天体育锻炼1小时，同时购买了甲、乙两种不同的足球．已知购买甲种足球共花费2500元，购买乙种足球共花费2000元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花30元．

(1)、求两种足球的单价；

(2)、为进一步推进课外活动，学校再次购买甲、乙两种足球共50个，若学校此次购买两种足球总费用不超过3000元，则学校至多购买乙种足球多少个？

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $D F$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A B = A E$ ；

(2)、求证： $B E ∥ D F$ ．

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25. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A O$ 的中点，过点 $A$ 作 $A F ∥ B D$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．求证：四边形 $A O D F$ 是平行四边形．

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26. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． $\frac{x - 1}{x + 1} ， \frac{x^{2}}{x - 1}$ ，这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1} ， \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；

(2)、将假分式 $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ 化为整式与真分式的和的形式： $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ =；

(3)、若假分式 $\frac{4 a + 1}{2 a - 1}$ 的值为正整数，则整数 $a$ 的值为；

(4)、将假分式 $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$ 化为带分式（写出完整过程）．

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27. 平行四边形 $A B C D$ 中，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点为 $E$ ，连接 $D E$ ， $B E$ ， $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，若 $∠ A D C = 90 °$ ，试说明点 $F$ 为 $B E$ 的中点；

(2)、如图 $2$ ，若 $∠ A B C = α (0 ° < α < 90 °)$ ．
①试判断点 $F$ 是否为 $B E$ 的中点？并说明理由；
②若 $∠ A B C = 45 °$ ，延长 $B A$ ， $D E$ 交于点 $H$ ，求 $\frac{D F}{B H}$ 的值．

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