【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：任意角与弧度制2

试卷更新日期：2023-08-18 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 与－835°终边相同的角有（）

A、－245° B、245° C、475° D、－475° E、－115°

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2. 如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形， $C G = m$ ，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（）

A、当 $m = 4$ 时，存在点P满足 $P A + P M = 8$ B、当 $m = 4$ 时，存在唯一的点P满足 $∠ A P M = \frac{π}{2}$ C、当 $m = 4$ 时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 时，满足 $∠ A P M = \frac{π}{2}$ 的点P轨迹长度为 $\frac{8 \sqrt{3}}{9} π$

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3. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ .质点A以 $\frac{π}{6} r a d / s$ 的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以 $\frac{π}{12} r a d / s$ 的角速度按逆时针方向运动，则（）

A、经过1 $s$ 后，扇形AOB的面积为 $\frac{5 π}{12}$ B、经过2 $s$ 后，劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $\frac{2 π}{3}$ C、经过6 $s$ 后，质点B的坐标为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、经过 $\frac{22}{3} s$ 后，质点A，B在单位圆上第一次相即

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5. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且 $∠ A O B = 60 °$ ，球体O表面上动点P满足 $| P A | = 2 | P B |$ ，则点P的轨迹长度为（）

A、 $\frac{12 \sqrt{11}}{11} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{5} π$ C、 $\frac{6 \sqrt{14}}{7} π$ D、 $\frac{12 \sqrt{13}}{13} π$

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6. $p ： s i n θ > 0 ， q ： θ$ 是第一象限角或第二象限角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 如图所示，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ，以 $x$ 轴非负半轴为始边作锐角 $α$ ， $β$ ， $α - β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_{1}$ ， $A_{1}$ ， $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{⌢}{A P}$ 的长度为 $α - β$ B、扇形 $O A_{1} P_{1}$ 的面积为 $α - β$ C、当 $A_{1}$ 与 $P$ 重合时， $| A P_{1} | = 2 s i n β$ D、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，四边形 $O A A_{1} P_{1}$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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8. 短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取 $17 π = 53.42$ ）（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、2 D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知 $c o s α = \frac{3}{5} ， α$ 是第一象限角，且角 $α ， β$ 的终边关于y轴对称，则 $t a n β =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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10. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则母线长为（）

A、4 B、8 C、10 D、16

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11. 如图，质点 $A$ 和 $B$ 在单位圆 $O$ 上逆时针作匀速圆周运动 $.$ 若 $A$ 和 $B$ 同时出发， $A$ 的角速度为 $1 r a d / s$ ，起点位置坐标为 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $B$ 的角速度为 $2 r a d / s$ ，起点位置坐标为 $(1 ， 0)$ ，则（）

A、在 $1 s$ 末，点 $B$ 的坐标为 $(s i n 2 ， c o s 2)$ B、在 $1 s$ 末，扇形 $A O B$ 的弧长为 $\frac{π}{3} - 1$ C、在 $\frac{7 π}{3} s$ 末，点 $A$ ， $B$ 在单位圆上第二次重合 D、 $△ A O B$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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12. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、1

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13. 下列说法中正确的是（）

A、半径为2，圆心角为1弧度的扇形面积为1 B、若 $α$ 是第二象限角，则 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 5 \geq 0$ D、命题： $\forall x > 0$ ， $l n x \leq x - 1$ 的否定是： $\exists x_{0} > 0$ ， $l n x_{0} > x_{0} - 1$

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二、填空题

14. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= $\frac{3}{5}$ ， $B H ∥ D G$ ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为cm² ．

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15. 已知直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=60°．以 $D_{1}$ 为球心， $\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面BCC₁B₁的交线长为．

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16. 现有一半径为 $R$ 的圆形纸片，从该圆形纸片上裁下一个以圆心为中心，以 $R$ 为半径的扇形纸片，并将扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的体积的最大值是；此时，扇形的圆心角为．

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17. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田碸 $= \frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 $+$ 矢 $\times$ 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦 $A B$ 等于6米，其弧田弧所在圆为圆 $O$ ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 $\frac{7}{2}$ 平方米，则 $\sin ∠ A O B =$ .

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18. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形 $O A B$ ，使扇形 $O A B$ 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形 $O A B$ 中剪下扇环形 $A B D C$ 制作扇面，使扇环形 $A B D C$ 的面积与扇形 $O A B$ 的面积比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为cm² ．

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19. 已知圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，则该圆锥侧面展开图的圆心角 $θ$ 的大小为．

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20. 圆锥底面半径为 $1 cm$ ，母线长为 $2 cm$ ，则其侧面展开图扇形的圆心角 $θ =$ .

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21. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = \frac{3}{2}$ ， $A D = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，已知P是矩形 $A B C D$ 内一动点， $P A_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，设P点形成的轨迹长度为 $α$ ，则 $\tan α =$ ；当 $C_{1} P$ 的长度最短时，三棱锥 $D_{1} - D P C$ 的外接球的表面积为.

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22. 若集合P＝ ${(x ， y) | x^{2} + y^{2} - 4 x = 0}$ ，Q＝ ${(x ， y) | \frac{| x + 2 |}{y} \geq \sqrt{15}}$ ，则P $\cap$ Q表示的曲线的长度为.

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23. 定积分 $\int_{- 1}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x =$ ．

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24. 给出下列命题：
⑴设角 $α$ 的始边为x轴非负半轴，则“角 $α$ 的终边在第二、三象限”是“ $c o s α < 0$ ”的充要条件；

⑵若函数： $y = 2 s i n (ω x + \frac{π}{3}) - 1$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；那么实数 $ω = 4$ ；

⑶若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为： $\frac{1}{s i n^{2} 1}$ ；

⑷若 $A ， B ， C$ 为 $△ A B C$ 的三个内角，则： $\frac{4}{A} + \frac{1}{B + C}$ 的最小值为： $\frac{9}{π}$ ；

其中正确的命题是；

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25. 写出一个与 $130 °$ 终边相同的角：.

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三、解答题

26. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示， $A B C D$ 是一块边长为100 $m$ 的正方形地皮，扇形 $C E F$ 是运动场的一部分，其半径是80 $m$ ，矩形 $A G H M$ 就是拟建的健身室，其中G、M分别在 $A B$ 和 $A D$ 上，H在 $\overset{⌢}{E F}$ 上，设矩形 $A G H M$ 的面积为S， $∠ H C F = θ$ .

(1)、将S表示为 $θ$ 的函数；

(2)、求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在 $\overset{⌢}{E F}$ 何处？

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27. 如图，学校门口有一块扇形空地 $O M N$ ，已知半径为常数R， $∠ M O N = \frac{π}{2}$ ，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地 $A B C D$ 作为体温检测使用，其中点A、B在弧 $M N$ 上，且线段 $A B$ 平行于线段 $M N$ .取 $A B$ 的中点为E，联结 $O E$ ，交线段 $C D$ 于点F.记 $∠ A O B = θ$ ，

(1)、用 $θ$ 表示线段 $A B$ 和 $A D$ 的长度；

(2)、当 $θ$ 取何值时，矩形 $A B C D$ 的面积最大？最大值为多少？

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28. 如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝ $\frac{2 π}{3}$ ，半径为 $4 \sqrt{2}$ ，若点C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一动点(不与点A，B重合).

(1)、若弦 $B C = 4 (\sqrt{3} - 1)$ ，求 $\overset{⌢}{B C}$ 的长；

(2)、求四边形OACB面积的最大值.

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29. 某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形 $A O B$ 的圆心角 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形 $O M N H$ ，其中 $M$ ， $H$ 分别在 $O A$ ， $O B$ 上， $N$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上．设 $∠ M O N = θ$ ，平行四边形 $O M N H$ 的面积为 $S$ .

(1)、将 $S$ 表示为关于 $θ$ 的函数；

(2)、求 $S$ 的最大值及相应的 $θ$ 值．

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30. 已知角α的终边上有一点 $P (- \sqrt{3}, 3)$ .

(1)、求与角α终边相同的角的集合；

(2)、求 $\frac{\sin (π + α) + \sin (\frac{3 π}{2} + α)}{\cos (- π - α) - \cos (- \frac{π}{2} - α)}$ 的值.

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31. 已知扇形的圆心角为α ，半径为R.

(1)、若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长；

(2)、若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积最大?

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32. 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来：

(1)、60°；

(2)、-21°．

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33. 已知函数 $f (x) = sin$ $(x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ .

(1)、如果点 $P$ $(\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ 是角 $α$ 终边上一点，求 $f (α)$ 的值；

(2)、设 $g (x) = f (x) + sin x$ ，用“五点描点法”画出 $g (x)$ 的图像（ $x \in [0 ， 2 π]$ ）.

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34. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为 $x$ 米，圆心角为 $θ$ （弧度）．

(1)、求 $θ$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为 $y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并求出 $y$ 的最大值．

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35.
如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为120°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积．

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