【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数与方程的综合运用

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数f₁（x）=x² ， f₂（x）=2（x﹣x²）， $f (x) = \frac{1}{3} | \sin 2 π x |$ ， $a_{i} = \frac{i}{99}$ ，i=0，1，2，…，99．记I_k=|f_k（a₁）﹣f_k（a₀）|+|f_k（a₂）﹣f_k（a₁）丨+…+|f_k（a₉₉）﹣f_k（a₉₈）|，k=1，2，3，则（）

A、I₁＜I₂＜I₃ B、I₂＜I₁＜I₃ C、I₁＜I₃＜I₂ D、I₃＜I₂＜I₁

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2. 设函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} + x - a}$ （a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x₀ ， y₀）使得f（f（y₀））=y₀ ，则a的取值范围是（）

A、[1，e] B、[e^﹣¹﹣1，1] C、[1，e+1] D、[e^﹣¹﹣1，e+1]

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{| x |}$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (m + 1) f (x) + m + 4 = 0 (m \in$ R)有四个相异的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4 ， - e - \frac{4}{e + 1})$ B、 $(- 4 ， - 3)$ C、 $(- e - \frac{4}{e + 1} ， - 3)$ D、 $(- e - \frac{4}{e + 1} ， + ∞)$

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4. 已知函数 $f (x) = 2 x - e^{- x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (0 ， \frac{1}{2})$ C、过原点可作曲线的两条切线 D、若 $f (x) = k x$ 有两个不等实根，则 $k > 0$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， x \leq 1 \\ \frac{e^{x}}{x} ， x > 1 \end{array}$ ，下列选项正确的是（）

A、点 $(0 ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的零点 B、 $\exists x_{1} \in (0 ， 1) ， \exists x_{2} \in (1 ， 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- e^{- 1} ， + \infty)$ D、若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 $(0 ， + \infty) ∪ {- \frac{1}{2 e}}$

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6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余金的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余金的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余金的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余金的 $\frac{1}{6}$ ， 5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为 $a$ 斤，设 $f (x) = {\begin{array}{l} 10 x + 1 ， x > 1 \\ 1 - 5 x ， 0 < x \leq 1 \end{array}$ ，则 $f (a) =$ （）

A、-5 B、7 C、13 D、26

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7. 若存在正实数x，y，使得等式 $4 x + a (y - 3 e^{2} x) (l n y - l n x) = 0$ 成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， 0)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$

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8. 如果两个函数存在关于y轴对称的点，我们称这两个函数构成类偶函数对，下列哪些函数能与函数 $y = - x$ 构成类偶函数对（）

A、 $f (x) = 2^{x} + x$ B、 $f (x) = x^{2} - x - 3$ C、 $f (x) = l n x + 2$ D、 $f (x) = 2 + \sqrt{x + 2}$

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9. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x \ln x + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) \cdot f (\frac{1}{x}) = a (a > 0)$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 2$ 有两个不等实根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， e)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 - \frac{2}{e} ， 2)$ D、 $(2 - \frac{2}{e} ， + \infty)$

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10. 给定R上的函数f（x），（）

A、存在R上函数g（x），使得f（g（x））=x B、存在R上函数g（x），使得g（f（x））=x C、存在R上函数g（x），使得f（g（x））=g（x） D、存在R上函数g（x），使得f（g（x））=g（f（x））

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11. 已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α²+1）（1+cos2α）的值为（）

A、2 B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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12. 若直角坐标系内 $A$ 、 $B$ 两点满足：（1）点 $A$ 、 $B$ 都在 $f (x)$ 图象上；（2）点 $A$ 、 $B$ 关于原点对称，则称点对 $(A ， B)$ 是函数 $f (x)$ 的一个“和谐点对”， $(A ， B)$ 与 $(B ， A)$ 可看作一个“和谐点对”.已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x (x < 0) \\ \frac{2}{e^{x}} (x \geq 0) \end{matrix}$ ，则 $f (x)$ 的“和谐点对”有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题

13. 若函数f（x）=（1﹣x²）（x²+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．

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14. 设函数f（x）=x³+3x²+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）² ， x∈R，则实数a= ， b= ．

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15. 关于 $x$ 的方程 $(m - 5) x^{2} + 2 \ln x - \frac{1}{x^{2}} + m = 0$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4^{- x} - 1 ， x \leq 0 \\ - 4 x^{2} + 8 x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若存在唯一的整数x，使得不等式 $\frac{f (x) - a}{x} > 0$ 成立，则实数a的取值范围是．

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17. 设 $f （ x ）$ 是 $R$ 上具有周期 $2 π$ 的奇函数，并且 $f （ 3 ） = f （ 4 ） = 0$ ，则 $f （ x ）$ 在 $[0, 10]$ 中至少有个零点.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x | x + a | - 1$ 有三个不同的零点，则实数a的取值范围为．

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19. 定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．如y=x²是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x³+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．

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20. 设f（x）是定义在R上的偶函数，F（x）=（x+2）³f（x+2）﹣17，G（x）=﹣ $\frac{17 x + 33}{x + 2}$ ，若F（x）的图象与G（x）的图象的交点分别为（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…（x_m ， y_m），则 $\sum_{i = 1}^{m}$ （x_i+y_i）= ．

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21. 已知min{{a，b}= ${\begin{matrix} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{matrix}$ f（x）=min{|x|，|x+t|}，函数f（x）的图象关于直线x=﹣ $\frac{1}{2}$ 对称；若“∀x∈[1，+∞），e^x＞2mex”是真命题（这里e是自然对数的底数），则当实数m＞0时，函数g（x）=f（x）﹣m零点的个数为．

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{x} ， x \in [0 ， 1] \\ \frac{9}{2} - \frac{3}{2} x ， x \in (1 ， 3] \end{matrix}$ 当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．

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23. 若关于x的方程e^2x+ae^x+1=0有解，则实数a的取值范围是．

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24. 已知非零常数α是函数y=x+tanx的一个零点，则（α²+1）（1+cos2α）的值为．

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三、解答题

25. 若函数 $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ .

(1)、判断方程 $f (x) = 1$ 解的个数，并说明理由；

(2)、当 $a > 0$ ，设 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} a x^{2}$ ，求 $g (x)$ 的单调区间.

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26. 已知函数 $f (x) = 2^{x} (x \in R)$ ，记 $g (x) = f (x) - f (- x)$ ．

(1)、解不等式： $f (2 x) - f (x) \leq 6$ ；

(2)、设k为实数，若存在实数 $x_{0} \in (1, 2]$ ，使得 $g (2 x_{0}) = k \cdot g^{2} (x_{0}) - 1$ 成立，求k的取值范围；

(3)、记 $h (x) = f (2 x + 2) + a \cdot f (x) + b$ (其中a，b均为实数)，若对于任意的 $x \in [0, 1]$ ，均有 $| h (k) | \leq \frac{1}{2}$ ，求a，b的值．

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27. 设函数f（x）=xe^x﹣ax²（a∈R）．

(1)、若函数g（x）= $\frac{f (x)}{e^{x}}$ 是奇函数，求实数a的值；

(2)、若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点．
①求k与b的值；
②对（0，+∞）上的任意实数x₁ ， x₂ ，都有[f（x₁）﹣h（x₁）][f（x₂）﹣h（x₂）]＞0，求实数a的取值范围．

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28. 设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a≥﹣1时，若函数f（x）的图象和x轴围成一个三角形，则实数a的取值范围．

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29. 设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．
（Ⅰ）试比较f（﹣1）与f（a）的大小；
（Ⅱ）当a=﹣5时，求函数f（x）的图象与轴围成的图形面积．

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30. 设函数f（x）=|x﹣a|+|2x+2|﹣5（a∈R）．

(1)、试比较f（﹣1）与f（a）的大小；

(2)、当a=﹣5时，求函数f（x）的图象与轴围成的图形面积．

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31. 已知f（x）=e^x与g（x）=ax+b的图象交于P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂）两点．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值；
（Ⅱ）且PQ的中点为M（x₀ ， y₀），求证：f（x₀）＜a＜y₀ ．

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32. 设集合M_a={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．

(1)、若f（x）=2^x﹣x² ，试判断f（x）是否为M₁中的元素，并说明理由；

(2)、若 $g (x) = x^{3} - \frac{1}{4} x + 3$ ，且g（x）∈M_a ，求a的取值范围；

(3)、若 $h (x) = \log_{3} (x + \frac{k}{x}) ， x \in [1 ， + \infty)$ （k∈R），且h（x）∈M₂ ，求h（x）的最小值．

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33. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (- x) + 3 x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $| f (x) | = k | x^{2} - x - 1 |$ 恰有四个不同的实根，求实数k的取值范围．

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34. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 n x (x - 1) ， x < n \\ n x (x - 1) ， x \geq n \end{array}$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{2} ， m]$ ，令 $h = {| f (x_{2}) - f (x_{1}) |}_{m a x}$ ，求 $h$ 关于 $m$ 的函数解析式，并写出 $m$ 的取值范围；

(2)、若关于x的方程 $f (x) - x = 0$ 有3个不同的根，求n的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = x l n x - m x + 1$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求m的取值范围；

(2)、若方程 $f (x) = 0$ 有两个不相等的实数根，并设这两个不相等的实数根为a、b，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 2$ .

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