【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数最值的应用

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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2. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} | x | + 2 ， x < 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x \geq 1. \end{matrix}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\frac{x}{2}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A、[﹣2，2] B、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2]$ C、 $[- 2 ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$

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3. 对任意x，y∈R，|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1|的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= $\frac{1}{2}$ （|x﹣a²|+|x﹣2a²|﹣3a²），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）

A、[ $- \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{6}$ ] B、[ $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ] C、[ $- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ] D、[ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ]

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5. 绍兴某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形（如图）水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度（即梯形的高）约为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

A、0.58米 B、0.87米 C、1.17米 D、1.73米

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6. 已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2} ， M ， N$ 分别为 $A C ， A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'} ， B ， C ， M ， N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、若 $x ， y \in R$ 且 $x + y > 4$ ，则 $x$ ， $y$ 至少有一个大于2 B、 $\forall x \in R$ ， $\sqrt{x^{2}} = x$ C、若 $1 < a < 3$ ， $2 < b < 4$ ，则 $- 2 < 2 a - b < 4$ D、 $\sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为2

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8. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛 $2 n (n \in N^{*})$ 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 $\frac{1}{2} .$ 如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 $P (n)$ ，则（）

A、 $p (2) = \frac{5}{16}$ B、 $p (3) = \frac{11}{16}$ C、 $p (n) = \frac{1}{2} (1 - \frac{C_{2 n}^{n}}{2^{2 n}})$ D、 $p (n)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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9. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值为（）

A、1 B、8 C、-5 D、-16

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 为奇函数，则 $f^{'} (x)$ 为偶函数 B、若 $f^{'} (0) = 0$ ，则 $f (x)$ 为奇函数 C、若 $f^{'} (x)$ 的最小值为0，则 $a^{2} = 3 b$ D、若 $f^{'} (x)$ 为偶函数，则 $f (x)$ 为奇函数

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (s i n x) + c o s (c o s x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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12. 当某种药物的浓度大于100mg/L（有效水平）时才能治疗疾病，且最高浓度不能超过1000mg/L（安全水平）．从实验知道该药物浓度以每小时按现有量14%的速度衰减．若治疗时首次服用后的药物浓度约为600mg/L，当药物浓度低于有效水平时再次服用，且每次服用剂量相同，在以下给出的服用间隔时间中，最合适的一项为（）
（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ， $\lg 86 \approx 1.935$ ）

A、4小时 B、6小时 C、8小时 D、12小时

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13. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x + \sin x$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上是单调递减函数 C、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{2} ， 0)$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$

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14. 已知 $a - ln b = 0$ ， $c - d = 1$ ，则 ${(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

15. 三棱锥 $D - A B C$ 中， $D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = C D = 1$ ，点 $P$ 在三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球面上，且 $∠ A P C = 6 0^{∘}$ ，则 $D P$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 m e^{x} - 3 x$ ，若不等式 $f (x) + 3 \geq 2 m e x - 3 l n x$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的最小值为.

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17. 已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，若梯形上底 $C D$ 上存在点P，使得 $P A = \sqrt{2} P B$ ，则该梯形周长的最大值为.

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18. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - \ln x ， 0 < x ⩽ 1 \\ - 1 + \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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19. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $z > 0$ ，且 $x + \sqrt{3} y + z = 6$ ，则 $x^{3} + y^{2} + 3 z$ 的最小值为．

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20. 现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是．

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21. 若不等式 $\frac{t}{t^{2} + 9} \leq a \leq \frac{t + 2}{t^{2}}$ 在 $t \in (0 ， 2]$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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22. 对于定义域为R的函数f（x），若满足①f（0）=0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf'（x）＞0；③当x₁≠x₂ ，且f（x₁）=f（x₂）时，x₁+x₂＜0，则称f（x）为“偏对称函数”．
现给出四个函数：g（x）= ${\begin{matrix} (\frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{1}{2}) x^{2} (x \neq 0) \\ 0 (x = 0) \end{matrix} ； h (x) = {\begin{matrix} l n (- x + 1) (x \leq 0) \\ 2 x (x > 0) \end{matrix} ； ϕ (x) = - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ ；φ（x）=e^x﹣x﹣1．
则其中是“偏对称函数”的函数个数为．

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23. 若正项递增等比数列满足（），则 $a_{8} + λ a_{9}$ 的最小值为 .

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三、解答题

24. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 8 + t \\ y = \frac{t}{2} \end{matrix}$ （t为参数），曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 s^{2} \\ y = 2 \sqrt{2} s \end{matrix}$ （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

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25. 若向量 $\vec{a} = (\sin x ， \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x ， - \cos x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + t$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求 $t$ 的值及函数的对称中心；

(2)、若不等式 $m^{2} - \frac{1}{2} m \leq f (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{4} ， \frac{11 π}{24}]$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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26. 数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线 $E ： x^{2} + y^{2} = a (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - y) (a > 0)$ 的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当 $a = 2$ 时，

(1)、求E的极坐标方程；

(2)、已知P ， Q为曲线E上异于O的两点，且 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = 0$ ，求 $△ O P Q$ 的面积的最大值．

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27. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x + 1 |$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x) \leq 3 x - 2$ 的解集；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 4 x + 4 + a^{2}$ ，若对 $\forall x_{2} \in [3 ， + \infty)$ ， $\exists x_{1} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围．

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28. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 的值；

(3)、设 $b_{n} = \frac{(- 1)^{n} \cdot (2 n^{2} + 10 n + 13) \cdot 2^{4 n - 2}}{a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最大值和最小值．

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29. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $A$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点，它到点 $B (3 ， 0)$ 距离的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，直线 $A B$ 与 $C$ 交于另一点 $D$ ，线段AD的垂直平分线交 $C$ 于E，F两点.

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.

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30. 随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加 $A ， B ， C$ 三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在 $A ， B ， C$ 三家网店订单“秒杀”成功的概率均为 $p$ ，三人是否抢购成功互不影响．记三人抢购到的订单总数为随机变量 $Z$ ．

(1)、求 $Z$ 的分布列及 $E (Z)$ ；

(2)、已知每个订单由 $k (k \geq 2 ， k \in N^{*})$ 件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为 $T$ ，假设 $p = \frac{1}{k} - \frac{k - 1}{2^{k}}$ ，求 $E (T)$ 取最小值时正整数 $k$ 的值．

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31. 已知 $f (x) = | 2 x - 6 | + | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) < 5$ 的解集.

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $2 a + b = 2$ ，证明： $\forall x \in R$ ， $\exists a ， b \in R^{+}$ ， $f (x) \geq \frac{1}{2 a} + \frac{1}{b}$ .

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32. 已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）．

(1)、当a= $\frac{1}{2}$ 时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；

(2)、如果函数g（x），f₁（x），f₂（x），在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“活动函数”．已知函数 $f {(x)}_{1} = (a - \frac{1}{2}) x^{2} + 2 a x + (1 {-a}^{2}) \ln x ，$ . $f {(x)}_{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ 。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“活动函数”，求a的取值范围．

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33. 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB ， AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60^o ．

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

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34. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案① 多边形为直角三角形 $A E B$ （ $∠ A E B = 90^{\circ}$ ），如图1所示，其中 $A E + E B = 30 m$ ；

方案② 多边形为等腰梯形 $A E F B$ （ $A B > E F$ ），如图2所示，其中 $A E = E F = B F = 10 m$ ．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

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35. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ $(a \in R)$ .
(Ⅰ) 求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(Ⅱ) 当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上最小值.

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