【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：分段函数的应用2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 \sqrt{x} ， 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{4} x + a (a \in R)$ 恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（）

A、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ B、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}]$ C、 $(\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$ D、 $[\frac{5}{4} ， \frac{9}{4}] \cup {1}$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x) + x + a$ .若 $g (x)$ 存在2个零点，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x} ， x \leq 0 \\ 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是（）

A、(-∞，-1] B、(0，+∞) C、(-1，0) D、(-∞，0)

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x l n x - x ， x > 0 \\ f (x + 1) ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $2 f (x) - k x + 1 = 0$ 有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}] ∪ (\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}) ∪ [\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}] ∪ (\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}]$

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5. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - l n (- x) ， a \leq x < 0 ， \\ - x^{2} + 2 x ， 0 \leq x \leq 3 \end{array}$ 的值域为 $[- 3 ， + ∞)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- e^{3} ， 0)$ B、 $[- e^{3} ， - \frac{1}{e})$ C、 $[- e^{3} ， - \frac{1}{e}]$ D、 $(- e^{3} ， - \frac{1}{e})$

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6. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x | x - 1 | - 1 ， x \geq 0 ， \\ \frac{1}{x - 1} ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (1 - x) - a x + 1$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ {0} ∪ (\frac{1}{4} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) ∪ {0} ∪ (\frac{1}{4} ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ [0 ， \frac{1}{4})$ D、 $(- 4 ， - 1) ∪ {0} ∪ [\frac{1}{4} ， 1)$

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7. 已知函数 $f (x) = | l n x |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} 0 ， 0 < x \leq 1 ， \\ | x^{2} - 4 | - 2 ， x > 1 ， \end{array}$ 若方程 $| f (x) + g (x) | = a$ 有4个实根，则 $a$ 的取值范围是

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 2 - l n 2)$ C、 $[1 ， 2 - l n 2]$ D、 $[1 ， 2 - l n 2)$

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8. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：① $f (2 - x) + f (x) = 0$ ；② $f (x - 2) - f (- x) = 0$ ；③在 $[- 1 ， 1]$ 上的解析式为 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s \frac{π}{2} x ， x \in [- 1 ， 0] \\ 1 - x ， x \in (0 ， 1] \end{array}$ ，则函数 $f (x)$ 与函数 $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ 的图象在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 设 $ω \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) ， x \geq 0 ， \\ \frac{3}{2} x^{2} + 4 ω x + \frac{1}{2} ， x < 0 ， \end{array} g (x) = ω x$ ．若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{3} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增，且函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有三个交点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{4} ， \frac{2}{3}]$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2}{3}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ D、 $[- \frac{4}{3} ， 0) ∪ [\frac{1}{4} ， \frac{2}{3}]$

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 3) = f (x + 1)$ ，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in (- 1 ， 1] \\ 2 - 2 | x - 2 | ， x \in (1 ， 3] \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 4 k (k \in Z)$ C、当 $x \in (- 3 ， - 2)$ 时， $f (x) = 2 x + 6$ D、方程 $3 f (x) = x$ 恰有5个实数解

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 10 x - m ， x \leq \frac{1}{2} \\ x e^{x} - 2 m x + m ， x > \frac{1}{2} \end{array}$ （e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(e ， 5]$ C、 $(e ， 5)$ D、 $[e ， 5]$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 若 $f (m) = 3$ ，则m的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、9 D、2或9

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a x - 1$ 有且仅有三个实数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $0 < a < 2$ C、 $a > 1$ D、 $a > 2$

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二、填空题

14. 能说明“若f $(x) > f (0)$ 对任意的x $\in (0 ， 2]$ 都成立，则f $(x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上是增函数”为假命题的一个函数是

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| l n x |} ， x > 0 ， \\ \frac{x + a}{x - 1} ， x \leq 0 ， \end{array}$ ，则 $f (1) =$ ；若 $f (f (- 1)) = 1$ ，则实数 $a =$ .

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a \\ - 2 x ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} + a x + \frac{a}{2} ， x < 0 \\ e^{x} (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ （ $e \approx 2.71828$ ），若函数 $f (x)$ 的极值为0，则实数 $a =$ ；若函数 $F (x) = f (x) + f (- x)$ 有且仅有四个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18. 设函数 ${\begin{matrix} x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ，若 $f (a) = 1$ ，则 $a =$ ．

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19. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} ， 0 < x < 2 \\ 3 (x - 2) ， x \geq 2 \end{array}$ ．若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $a =$ ．

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20. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{a} (2 x^{2} + 1) ， x \geq 0 \\ a^{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = 2$ ，则 $a =$ ， $f (x) \leq 4$ 的解集为.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 16 x^{2} - 24 x + 9 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{9} f (x - 1) ， x > 1 \end{array}$ ，则下列结论正确的有.
① $f (n) = 9^{1 - n}$ ， $n \in N^{*}$
② $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) < \frac{1}{x}$ 恒成立
③关于 $x$ 的方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有三个不同的实根，则 $\frac{1}{9} < m < 1$
④关于 $x$ 的方程 $f (x) = 9^{1 - n} (n \in N^{*})$ 的所有根之和为 $n^{2} + \frac{n}{3}$

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ 2^{x - 1} + \frac{a}{3} ， x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R，则实数a的取值范围是.

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23. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ ，当x>0时，有 $f (x) = {\begin{array}{l} - l o g_{3} (4 - x) ， 0 < x \leq \frac{5}{4} \\ f (x - 3) ， x > \frac{5}{4} \end{array}$ ，则 $f (2) + f (4) + f (6) + \cdot \cdot \cdot + f (2022) =$ ．

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24. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (3)$ 的值为．

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三、解答题

25. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中 $x % (0 < x < 100)$ 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
$f (x) = {\begin{cases} 30 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 0 < x \leq 30 ， \\ 2 x + \frac{1800}{x} - 90 ， \begin{array}{r} \end{array} \begin{array}{r} \end{array} 30 < x < 100 \end{cases}$ （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)、当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)、求该地上班族S的人均通勤时间 $g （ x ）$ 的表达式；讨论 $g （ x ）$ 的单调性，并说明其实际意义。

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26. 已知函数 $f (x) = | 2 x - \frac{1}{a} | + | 2 x + a | (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、若 $f (\frac{3}{2}) < 6$ ，求 $a$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 5 ， x \geq 0 \\ x + 6 ， x < 0 \end{array}$

(1)、若 $f (m) = 4$ ，求m的值；

(2)、若 $f (- a^{2} - 1) > 1$ ，求a的取值集合．

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28. 某企业自主开发出一款新产品A ，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品.通过市场分析知，在2022年该企业每生产x（千件）A产品，需另投入生产成本 $R (x)$ （千元），且 $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 60 x ， 0 < x \leq 10 \\ 70 x + \frac{1800}{x} - 230 ， 10 < x \leq 40 \end{array}$

(1)、求该企业生产一件A产品的平均成本p（元）关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；（总成本=研发成本+生产成本）

(2)、该企业欲使生产一件A产品的平均成本 $p \leq 66$ 元，求其年生产址x（千件）的取值区间？

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29. 若函数f(x)对任意的x∈R，均有f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)，则称函数f(x)具有性质P.

(1)、判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由；
①y=3^x；②y=x³；

(2)、若函数g(x)= ${\begin{matrix} x (x - n) ， x \in Q \\ x^{2} ， x 为无理数 \end{matrix}$ ，试判断g(x)是否具有性质P，并说明理由；

(3)、若函数f(x)具有性质P，且f(0)=f(n)=0(n>2，n∈N*)求证：对任意1≤k≤n﹣1，k∈N*，均有f(k)≤0.

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30. 已知函数 $f (x) = b | x | + | x - a | (a > 0)$ .

(1)、当 $b = 1$ ， $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、当 $b = 2$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | x - 2 | + 1$

(1)、若方程 $f (x) = m$ 无实根，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $n$ .若 $a$ ， $b > 0$ ，且 $5 a + 5 b = 2 n$ ，证明： $a + 4 b - 9 a b \geq 0$ .

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32. 设函数 $f (x) = | x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (2 x) + f (x + 1)$ 的最小值 $m$ ；

(2)、在（1）的件下，证明 $f (\cos^{2} α) - f (\sin^{2} α + \frac{1}{2}) \leq m$ ．

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33. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值m；

(2)、已知 $a > 0 ， b \geq 0$ ，若 $a + 2 b = m$ 时，正常数t使得 $t a + a b$ 的最大值为2，求t的值．

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34. 已知函数 $f (x) = 2 x + 1 + a | x - 1 |$ .
（Ⅰ）当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值 $m$ ；

（Ⅱ）当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时，不等式 $f (x) > x^{2} + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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35. 已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + \frac{1}{a} |$ .

(1)、若 $f (0) < \frac{5}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、若 $f (x) ⩾ 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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