【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：分段函数的应用1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 定义函数 $F (x) = {\begin{array}{l} f (x) f (x) \leq g (x) \\ g (x) f (x) > g (x) \end{array}$ ，若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - a x + b$ ，且对任意的 $x \in R$ ，都有 $F (x) = F (4 - x)$ 成立，函数 $y = F (x)$ 的图象与 $y = m$ 自左向右有四个交点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，则 $| B C | \cdot m$ 的范围为（）

A、 $(0 ， \frac{8}{27}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3})$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 l n x + 1 ， x \geq 1 \\ 2 x - 1 ， x < 1 \end{array}$ ，若 $p \neq q$ ，且 $f (p) + f (q) = 2$ ，则 $p + q$ 的最小值是（）

A、 $2 - 2 l n 2$ B、 $3 - 2 l n 2$ C、 $4 - 2 l n 3$ D、2

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + k - \frac{2}{3} ， 2 k \leq x < 2 k + \frac{4}{3} ， \\ 2 x - 2 k - \frac{8}{3} ， 2 k + \frac{4}{3} \leq x < 2 k + 2 ， \end{array} (k \in Z)$ ，则（）

A、f（x）是单调递增函数 B、 $f (f (x + 2)) = x$ C、 $f (x) \leq x - 1$ D、 $f (x) + f (x + 1) \leq 2 x$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 0 \\ {(x - 1)}^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，函数 $y = t$ 的图象与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点，其横坐标依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，设 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{2} - x_{1} x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， \frac{86}{27}]$ B、 $(2 ， \frac{86}{27}]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 ， \\ - {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $f (a) < f (6 - a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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6. 设 $x \nabla y = x + y + | x - y | ， x Δ y = x + y - | x - y |$ ，若正实数 $a ， b ， c ， d$ 满足： ${\begin{array}{l} a Δ b < c Δ d \\ a \nabla c < b \nabla d ， \\ b Δ c < a \nabla d \end{array}$ 则下列选项一定正确的是（）

A、 $d > b$ B、 $b > c$ C、 $b Δ c > a$ D、 $d \nabla c > a$

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = 2 f (x - 1)$ ，当 $0 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，若对任意的 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - 8$ ，则m的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时， $g (x) = \frac{1}{80} x^{2} + \frac{9}{2} x$ ，当年产量不低于400辆时， $g (x) = 16 x + \frac{360000}{x} - 3500$ ，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）

A、1500万元 B、2100万元 C、2200万元 D、3800万元

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq a \\ 2^{x} ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + b$ ，且 $f (x) + f (- x) = 4$ 恒成立，若 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq a \\ 2 - 6 x ， x > a \end{array}$ 恰好有1个零点，则实数 $a$ 的范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $[\frac{1}{3} ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup [\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $[- 2 ， \frac{1}{3})$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} ， x \geq 1 \\ - f (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ ，若对于任意的实数x，不等式 $4 f (x - a) \leq f (x^{2} + 1)$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ C、 $[- \frac{3}{4} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4} ， 1]$

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二、填空题

12. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的值域是；

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 2 ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；若当 $x \in [a ， b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 1 ， & x < a \\ {(x - 2)}^{2} ， & x ⩾ a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的一个取值为； $a$ 的最大值为．

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15. 函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为

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16. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \in (- \infty ， a) \\ x^{2} ， x \in [a ， + \infty) \end{array}$ ，若 $f (2) = 4$ ，则a的取值范围为.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x - 1} ， x < 1 \\ x^{3} + x ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (x)) < 2$ 的解集为．

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18. 已知函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} - 1 ， x < 0 \\ 0 ， x = 0 \\ 1 ， x > 0 \end{array}$ ，关于函数 $f (x) = s g n (x - π) s i n x$ 有如下四个命题：
① $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减；② $f (l g 2) = - f (l g \frac{1}{2})$ ；
③ $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ ；④ $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 $.$
其中所有真命题的序号是 $.$

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19. $f (x)$ 在 $R$ 上非严格递增，满足 $f (x + 1) = f (x) + 1 ， g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， | x | < 8 \\ f (x - a) ， | x | \geq 8 \end{array}$ ，若存在符合上述要求的函数 $f (x)$ 及实数 $x_{0}$ ，满足 $g (x_{0} + 4) = g (x_{0}) + 1$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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20. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 4 ， x \geq 2 \\ | x - a | + 2 ， x < 2 \end{array}$ ， $f (3) =$ ；若 $f (f (2)) = 2$ ，则 $a =$ .

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n x | ， x > 0 \\ x^{2} - 4 | x | + 5 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为．

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22. 设 $a \in R$ ．函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x} - 1 ， & x \leq 0 \\ a x^{2} + (a^{2} - 2) x - l n x ， & x > 0 \end{array}$ ，若 $f (f (0)) = 0$ ，则 $a =$ ，若 $f (x)$ 只有一个零点，则a $的$ 取值范围是．

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23. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 \\ | x + 2 | ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ ，不等式 $f (x) \geq 2$ 的解集是.

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24. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} - 8 ， x \leq 0 \\ l g x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ ，若 $f (a) > 1$ ，则实数a的取值范围是.

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25. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 1} ， x > - 1 \\ - 2 x - 6 ， x \leq - 1 \end{array}$ 若 $f [f (a)] = 0$ ，则实数a的值等于.

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三、解答题

26. 已知 $f (x) = 2 | x + 1 | - | x - m |$ ， $m > 1$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、 $g (x) = f (x) - | x - m |$ ，若 $g (x)$ 图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值范围．

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27. 设函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、设a，b是两个正实数，若函数 $f (x)$ 的最小值为m，且 $a + 2 b = m$ ．证明： $\sqrt{a} + \sqrt{2 b} \leq 2$ ．

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28. 已知 $f (x) = | a x + 1 | - | x - 2 | ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 最大值；

(2)、当 $0 \leq a \leq 1$ 时，证明： $f (x) \geq 1$ 的解集非空．

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29. 设函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \leq | 2 a + 1 |$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (l n x + 1) ， x > 0 \\ x^{2} - \frac{m}{e^{x}} ， x \leq 0 \end{array}$ .

(1)、当 $m = \frac{1}{2}$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、设 $F (x) = f (x) - f (- x)$ ，若存在 $x \in (- \infty ， - 1]$ ，使 $F (x) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a | + | 2 x - 1 | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 7$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) ⩽ - 2 a$ 成立，求实数a的取值范围．

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32. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - 1 |$

(1)、解不等式 $f (x) < 2$ .

(2)、若不等式 $| m - 1 | \geq f (x) + | x - 1 | + | 2 x - 3 |$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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33. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} | x + 2 | + \frac{1}{2} | x |$ ，直线 $y = a$ 与曲线 $y = f (x)$ 围成的四边形面积为 $S$ ， $0 < S \leq 3$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若实数 $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = 3$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 9$ ，求 $c$ 的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 4 | + | x - 1 |$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a \geq 4$ 时，证明：对任意的 $x \in [- 2 ， 1]$ ， $f (x - a) \geq f (x)$ 恒成立．

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35. 已知函数 $f (x) = | 2 - x | + 2 | x + 1 |$ ．

(1)、若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 4 - a^{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、令 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ．若正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = M$ ，求证： $a + b + c \geq 12$ ．

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