【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数7

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ $l o g_{2} \frac{1}{5}$ ），b=f（log₂4.1），c=f（2^0.8），则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜b＜a D、c＜a＜b

查看试题解析
2. 已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log₂5.1），b=g（2^0.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、b＜a＜c D、b＜c＜a

查看试题解析
3. 设x、y、z为正数，且2^x=3^y=5^z ，则（　　）

A、2x＜3y＜5z B、5z＜2x＜3y C、3y＜5z＜2x D、3y＜2x＜5z

查看试题解析
4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2^{x} + 2^{- x} (x > 0) \\ - x^{3} (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $a = l n 2$ ， $b = 3^{0.2}$ ， $c = l o g_{0.3} 2$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (c) > f (b)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

查看试题解析
5. 已知 $a = 2^{0.5} ， b = l o g_{3} 6 ， c = l o g_{4} 8$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
6. 设 $a = l o g_{2} 3 ， b = l o g_{4} x ， c = l o g_{8} 65$ ，若这三个数中b既不是最小的也不是最大的，则x的取值范围是（）

A、 $(9 ， 6 5^{\frac{2}{3}})$ B、 $(3 ， 6 5^{\frac{1}{3}})$ C、 $[9 ， 6 5^{\frac{2}{3}}]$ D、 $[3 ， 6 5^{\frac{1}{3}}]$

查看试题解析
7. 2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， $582$ 秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度 $v$ 满足公式： $v = w \ln (1 + \frac{M}{m})$ ，其中 $M$ 为火箭推进剂质量， $m$ 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量， $w$ 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当 $M = 3 m$ 时， $v = 5.544$ 千米/秒．在保持 $w$ 不变的情况下，若 $m = 25$ 吨，假设要使 $v$ 超过第一宇宙速度达到 $8$ 千米/秒，则 $M$ 至少约为（结果精确到1，参考数据： $e^{2} \approx 7.389$ ， $\ln 2 \approx 0.693$ ）（）

A、135吨 B、160吨 C、185吨 D、210吨

查看试题解析
8. 据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足 $y = k l o g_{3} (x + 1)$ ，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭 $(l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1)$ （）

A、1530只 B、1630只 C、1830只 D、1930只

查看试题解析
9. 设函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 的反函数是 $f^{- 1} (x)$ ，若对任意的 $x \in (0 ， 1)$ ，则 $f (x)$ 与 $f^{- 1} (x)$ 的大小关系为（）

A、 $f (x) > f^{- 1} (x)$ B、 $f (x) = f^{- 1} (x)$ C、 $f (x) < f^{- 1} (x)$ D、不能确定

查看试题解析
10. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = \log_{4} 6$ ， $c = \log_{6} 7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

查看试题解析
11. 已知实数a、b ，下列说法一定正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 ${(\frac{2}{7})}^{b} < {(\frac{2}{7})}^{a} < {(\frac{3}{7})}^{a}$ B、若 $b > a > 1$ ，则 $\log_{a b} a < \frac{1}{2}$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 D、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{1 + a}{b^{2}} > \frac{1 + b}{a^{2}}$

查看试题解析
12. 设 $a = {0.5}^{0.6}$ ， $b = \log_{0.5} 3$ ， $c = {0.6}^{0.5}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
13. 设 $a = \log_{2} e ， b = \log_{3} e ， c = \ln 3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

查看试题解析

二、填空题

14. 函数f（x）=log₂ $\sqrt{x}$ • $\log_{\sqrt{2}}$ （2x）的最小值为．

查看试题解析
15. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $y = a^{x}$ 的反函数的图象过点 $(2 ， - 1)$ ，则 $a =$ ．

查看试题解析
16. 已知 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 3)$ ， $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (x - 2)$ 的图象必经过点.

查看试题解析
17. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (2) =$

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x)$ 图像与函数 $g (x) = 2^{x}$ 的图像关于 $y = x$ 对称，则 $f (3) =$ .

查看试题解析
19. 函数 $y = 2^{x}$ 的反函数是.

查看试题解析
20. 函数 $f (x) = 1 + \log_{2} x$ $(x \geq 4)$ 的反函数的定义域为.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 1$ ，其反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (3) =$

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x) = \log_{2} x$ ，则 $f (- 1) =$

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = \log_{a} (x + 4)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若其反函数的零点为 $2$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
24. 函数 $y = 3^{x - 1}$ （ $x \leq 1$ ）的反函数是

查看试题解析

三、解答题

25. 设常数a≥0，函数f（x）= $\frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ ．

(1)、若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣¹（x）；

(2)、根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

查看试题解析
26. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a e^{- x}$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ 的图象经过点 $P (\frac{3}{2} ， \ln 2)$ ．
（I）求函数 $f (x)$ 的解析式；

（II）判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明．

查看试题解析
27. 设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{1 + a \cdot 2^{x}}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ ；

(2)、求函数 $y = f (x) \cdot f (- x)$ 的最大值（用 $a$ 表示）；

(3)、设 $g (x) = f (x) - f (x - 1)$ ，若对任意 $x \in (- \infty ， 0]$ ， $g (x) \geq g (0)$ 恒成立，求 $a$ 的范围.

查看试题解析
28. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、已知 $g (x)$ 是以2为周期的偶函数，且当 $0 \leq x \leq 1$ 时，有 $g (x) = f (x)$ .若 $a < 0$ ，且 $g (\frac{3}{2}) = \frac{5}{4}$ ，求函数 $y = g (x)$ $(x \in [1, 2])$ 的反函数；

(3)、若在 $[0, 2]$ 上存在 $n$ 个不同的点 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n . n \geq 3)$ ， $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{n}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + \cdot \cdot \cdot + | f (x_{n - 1}) - f (x_{n}) | = 8$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
29. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - 2 a - 2) a^{x}$ 是指数函数.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断 $F (x) = f (x) + \frac{1}{f (x)}$ 的奇偶性，并加以证明；

(3)、解不等式： ${log}_{a} (1 + x) < {log}_{a} (2 - x)$ .

查看试题解析
30. 已知函数f(x)=x²−x＋k，且log₂f(a)=2，f(log₂a)=k，a＞0，且a≠1.

(1)、求a，k的值；

(2)、当x为何值时，f(log_ax)有最小值？求出该最小值．

查看试题解析
31. 设 $f (x) = {log}_{2} \frac{x - 1}{a x + 1} + x$ 为奇函数，且实数 $a > 0$ 。

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 的单调性，并写出证明过程；

(3)、当 $x \in [3, 4]$ 时，不等式 $f (x) > - 2 x^{2} + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

查看试题解析
32. 已知 $f (x) = {log}_{3} (9 x) \cdot {log}_{3} (3 x)$ , $\frac{1}{27} \leq x \leq 9$ .

(1)、若 $t = {log}_{3} x$ ，求 $t$ 的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值，并给出取最大值时对应的 $x$ 的值。

查看试题解析
33. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $A$ ，如果存在函数 $x = g (t)$ ，使得函数 $y = f [g (t)]$ 的值域仍是 $A$ ，那么称 $x = g (t)$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个等值域变换.

(1)、判断下列函数 $x = g (t)$ 是不是函数 $y = f (x)$ 的一个等值域变换？说明你的理由；
① $f (x) = {log}_{2} x ， x > 0 ， x = g (t) = t + \frac{1}{t} ， t > 0$ ；
② $f (x) = x^{2} - x + 1 ， x \in R ， x = g (t) = 2^{t} ， t \in R$ .

(2)、设 $f (x) = {log}_{2} x$ 的定义域为 $x \in [2 ， 8]$ ，已知 $x = g (t) = \frac{m t^{2} - 3 t + n}{t^{2} + 1}$ 是 $y = f (x)$ 的一个等值域变换，且函数 $y = f [g (t)]$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $m 、 n$ 的值.

查看试题解析
34. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {log}_{2} (\frac{1}{x} + a)$ .

(1)、当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - {log}_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t ， t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
35. 已知函数 $f (x) = \log_{m} \frac{x - 3}{x + 3}$

(1)、判断f（x）的奇偶性并证明；

(2)、若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；

(3)、若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β﹣1），log_mm（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．

查看试题解析