【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数6

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $a = \log_{2} e$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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2. 已知 $a = \log_{3} \frac{7}{2} ， b = {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} ， c = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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3. 下列不等式正确的是（）．（其中 $e \approx 2.718$ 为自然对数的底数， $π \approx 3.14$ ）

A、 $l o g_{2} 7 < l o g_{3} 8$ B、 $π l n \frac{π}{3} < π - 3$ C、 $l o g_{5} 2 > \frac{2}{5}$ D、 $l n \frac{5}{4} > \frac{9}{40}$

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4. $a = l o g_{6} 3$ ， $b = l o g_{12} 4$ ， $c = 5^{- \frac{1}{2}}$ ， $d = \frac{5}{8}$ ，则a，b，c，d的大小关系为（）

A、 $c < b < a < d$ B、 $b < c < d < a$ C、 $c < a < b < d$ D、 $c < b < d < a$

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5. 已知实数m，n满足 $0 < n < m < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{n}{m} < \frac{n + 1}{m + 1}$ B、 $m + \frac{1}{m} > n + \frac{1}{n}$ C、 $m^{n} > n^{m}$ D、 $l o g_{m} n < l o g_{n} m$

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6. 已知 $a = 0 . 8^{\frac{2}{3}}$ ， $b = l o g_{9} \frac{2}{3}$ ， $c = 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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7. 设 $a = l n 2$ ， $2^{b} = 5$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 分别满足 $l o g_{\frac{21}{20}} x = \frac{22}{21}$ ， $2 1^{y} = 22$ ， $2 0^{z} = 21$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $y > x > z$

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9. 已知 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = l g 27$ ， $c = \sqrt{3}$ .则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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10. 已知 $a = \sqrt[3]{23}$ ， $b = l o g_{3} 7$ ， $c = l n 27$ ，则a， $b$ ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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11. 已知 $x = l n \frac{1}{2} ， y = l o g_{5} 2 ， z = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $x < y < z$ B、 $x < z < y$ C、 $z < y < x$ D、 $y < z < x$

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12. 设 $m \in (0 ， 1)$ ，若 $a = l g m$ ， $b = l g m^{2}$ ， $c = {(l g m)}^{2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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13. 当 $0 < x \leq \frac{1}{2}$ 时， $4$ ^x<log_ax ，则 a 的取值范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ） B、（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，1 C、（1， $\sqrt{2}$ ） D、（ $\sqrt{2}$ ，2）

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二、填空题

14. 函数 $f (x) = x^{2} (x > 0)$ 的反函数为．

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15. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (x + a)$ ，若 $f （ x ）$ 的反函数的图象经过点 $（ 3 ， 1 ）$ ，则a=。

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16. 定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1（x），若g（x）= ${\begin{matrix} 3^{x} - 1 ， x \leq 0 \\ f (x) ， x > 0 \end{matrix}$ 为奇函数，则f^﹣1（x）=2的解为．

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17. 函数 $y = f (x)$ 的反函数为 $y = l o g_{2} x + 1$ ，则 $f (3) =$ .

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = - l o g_{2} (x + 1)$ ．设 $g (x) = | f (x) | + f (| x |)$ ，若关于x的方程 $g (x) - m x - 2 = 0$ 有5个不同的实根，则实数m的取值范围是．

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19. 函数 $y = l o g_{2} (x + 1)$ 的反函数为.

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20. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3$ 的反函数为 $y = f^{- 1} (x)$ ，则方程 $f^{- 1} (x) = 0$ 的根为.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (0) =$ .

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22. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若点 $(n ， S_{n})$ （ $n \in N^{*}$ ）在函数的反函数的图象上，则 $a_{n}$ =.

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23. 设f^﹣1（x）为函数f（x）＝log₂（4^x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f^﹣1（x）时，x的值为．

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24. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3}, f^{- 1} (0) =$ .

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25. 若使得 ${(\frac{10}{17})}^{n} < 10^{- 10}$ 成立的最小整数 $n = 44$ ，则使得 ${(\frac{17}{10})}^{m} > 10^{4}$ 成立的最小整数 $m =$ ．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt{1 - 2 x}$ .

(1)、设 $g (x)$ 的反函数为 $g^{- 1} (x) ， F (x) = f (x) + g^{- 1} (x)$ ，求 $F (x)$ 的最值.

(2)、函数 $G (x)$ 满足 $G (x) = f (x) \cdot g (x)$ ，求证：当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时， $G (x) \leq G (\frac{1 - x}{2})$ .

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27. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 t x + 1$ ，其定义域为 $[0 ，_{} 3] \cup [12 ，_{} 15]$ ，

(1)、当 $t = 2$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的反函数；

(2)、如果函数 $y = f (x)$ 在其定义域内有反函数，求实数 $t$ 的取值范围．

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28. 已知函数f（x）=e^x（e=2.71828…），g（x）为其反函数．

(1)、求函数F（x）=g（x）﹣ax的单调区间；

(2)、设直线l与f（x），g（x）均相切，切点分别为（x₁ ， f（x₁）），（x₂ ， f（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

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29. 已知常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{2^{x}} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) ≤ 1$ 的解集（用区间表示）；

(2)、若函数 $y = f (x) + 2 x$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

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30. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x + 1) + 2$ ．

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a) + f (1) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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31. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ ；

(2)、若 $x \in [1 ， 2]$ 时 $f (x)$ 的最小值是 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 解析式．

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32. 已知函数 $f (x)$ 的图像与函数 $g (x) = 3^{x} - 1$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称，函数 $h (x) = l o g_{9} (| x - a | + 1)$ ．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $F (x) = f (x) \cdot h (x)$ 在 $x \in [0 ， 4]$ 上的最大值；

(2)、设 $H (x) = m a x {f (x) ， 2 h (x)}$ ， $x \in [0 ， 4]$ ，求 $H (x)$ 的最小值，其中 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ．

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33. 已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x}$ （ $a$ ， $b$ 为常数， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A (1 ， 8)$ ， $B (3 ， 32)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 不等式 $a^{x} - b^{x} - λ \geq 0$ 对 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ 都成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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34. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $h (x) = x^{2} - 4 x + 5 m$ ， $φ (x)$ 与 $f (x)$ 互为反函数．

(1)、求 $φ (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $y = φ (h (x))$ 在区间 $(3 m - 2 ， m + 2)$ 内有最小值，求实数m的取值范围；

(3)、若函数 $g (x) = φ (\frac{4 x}{x + 1}) (x > 0)$ ，关于方程 ${[g (x)]}^{2} + a | g (x) | + a + 3 = 0$ 有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．

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35. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与 $g (x) = \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，且 $g (x)$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ .

(1)、若 $f (3 x - 1) > f (- x + 5)$ 成立，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 4]$ ，不等式 $f (2 x) g (\frac{x}{4}) - m < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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