【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数5

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设 $a = \log_{2} 0.3 ， b = \log_{\frac{1}{2}} 0.4 ， c = {0.4}^{0.3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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2. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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3. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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4. 设函数 $f (x) = \ln | 2 x + 1 | - \ln | 2 x - 1 |$ ，则f(x)（）

A、是偶函数，且在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递增 D、是奇函数，且在 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ 单调递减

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5. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 $1, 2, \dots, n$ ，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \dots, n), \sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，定义X的信息熵 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ .（）

A、若n=1，则H(X)=0 B、若n=2，则H(X)随着 $p_{1}$ 的增大而增大 C、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则H(X)随着n的增大而增大 D、若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 $1, 2, \dots, m$ ，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{2 m + 1 - j} (j = 1, 2, \dots, m)$ ，则H(X)≤H(Y)

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6. 已知a＝log₂3＋log₂ $\sqrt{3}$ ， b＝log₂9－log₂ $\sqrt{3}$ ， c＝log₃2，则a，b，c的大小关系是（）

A、a＝b<c B、a＝b>c C、a<b<c D、a>b>c

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7. 设 $a = l o g_{3} 2 ， b = l o g_{5} 3 ， c = \frac{2}{3}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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8. 已知 $a = l o g_{2} x$ ， $b = 2^{x}$ ， $c = 3^{x}$ ，其中 $x \in (1 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > l o g_{b} c$ B、 $a^{b} > b^{c}$ C、 $a^{b} < b^{c}$ D、 $l o g_{a} b < l o g_{b} c$

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9. 已知 $a = 202 3^{\frac{1}{2022}}$ ， $b = l o g_{2023} 2022$ ， $c = l o g_{2022} \frac{1}{2023}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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10. 已知 $a = 3^{0.5}$ ， $b = l o g_{3} 2$ ， $c = t a n \frac{5}{6} π$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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11. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}} ， b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}} ， c = l n 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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12. 已知集合 $N = {x \in R | l n x \leq 1}$ ，若 $(∁_{R} N) ∩ M = M$ ，则集合 $M$ 可能是（）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${x \in R | x \geq e}$ C、 ${x | x^{2} = 9}$ D、 $R$

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13. 已知实数a，b，c满足 $a > b > c$ ，且 $a + b + c = 0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $b^{2} > 4 a c$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > 0$ C、 ${(a - b)}^{c} > {(a - c)}^{c}$ D、 $l n \frac{a - b}{a - c} < 0$

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14. 下列选项中，说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $l n a < l n b$ B、向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (m ， 2 m - 1)$ （m∈R）垂直的充要条件是m＝1 C、命题“ $\forall n \in N^{*} ， 3^{n} > (n + 2) \cdot {2^{n}}^{﹣ 1}$ ”的否定是“ $\forall n \in N^{*} ， 3^{n} \geq (n + 2) \cdot {2^{n}}^{﹣ 1}$ ” D、某辩论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛．要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为80.

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15. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 1}$ ， $B = {x | \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1}$ ，求 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $[- 3 ， 0] ∪ (2 ， 3]$ B、 $[- 3 ， - 1]$ C、 $[- 3 ， - 1] ∪ [0 ， 2]$ D、 $(2 ， 3]$

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二、填空题

16. 函数 $f (x) = \sqrt{\lg \frac{2}{x} - 1}$ 的定义域为.

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17. 函数 $y = \log_{a} (x + 3) - 1, (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点A，若点A在直线 $m x + n y + 1 = 0$ 上（其中m，n＞0），则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值等于.

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18. 已知 $3^{a} = 12$ ， $b = 2 \log_{3} 2$ ，现有下列四个结论：
① $a = 2 b$ ；② $a - b = 1$ ；③ $a < 2 b$ ；④ $a + b > 3$ .

其中所有正确结论的编号是.

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19. 关于函数 $f (x) = \ln (2 + x) - \ln (4 - x)$ 有下列四个命题：
①函数 $y = f (x)$ 在 $(- 2 ， 4)$ 上是增函数；

②函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 中心对称；

③不存在斜率小于 $\frac{2}{3}$ 且与函数 $y = f (x)$ 的图象相切的直线；

④函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 不存在极小值.

其中正确的命题有.（写出所有正确命题的序号）

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20. 已知 $a = \log_{3} e, b = \ln 3, c = \log_{3} 2$ ，则a，b，c中最小的是．

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21. 设 $a, b \in R^{+}$ ，且 $a \neq 1, b \neq 1$ ，能说明“若 $\log_{a} 3 > \log_{b} 3$ ，则 $b > a$ ”为假命题的一组 $a, b$ 的值依次为.

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22. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} x$ 和 $g (x) = k (x - 2)$ 的图像如图所示，则不等式 $\frac{f (x)}{g (x)} \geq 0$ 的解集是

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23. 不等式 $| \begin{matrix} {log}_{2} x & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} | > 0$ 的解为．

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24. 若 ${log}_{2} a > 1$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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25. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 x)$ ，且当 $x \in [1 ， 2)$ 时 $f (x) = ln x$ ．若在区间 $[1 ， 4)$ 内，函数 $g (x) = f (x) - 2 a x$ 有两个不同零点，则 $a$ 的范围为．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x^{2} - 2)$ ， $g (x) = 2 l o g_{a} (x + t)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集；

(2)、若函数 $F (x) = a^{f (x)} + (t - 2) x^{2} + (1 - 6 t) x + 8 t + 1$ 在区间 $(2 ， 5]$ 上有零点，求实数 $t$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = {(l o g_{3} x)}^{2} - a l o g_{3} x^{2} - 3$ ， x∈[ $\frac{1}{3}$ ， 9].

(1)、当a=0时，求函数f(x)的值域；

(2)、若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.

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28. 2022年12月，某市突发病毒感染疫情，第1天､第2天､第3天感染该病毒的人数分别为 $52 ， 54 ， 58$ .为了预测接下来感染该病毒的人数，根据前三天的数据，甲选择了模型 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，乙选择了模型 $g (x) = p \cdot q^{x} + r$ ，其中 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别表示两个模型预测第 $x$ 天感染该病毒的人数， $a ， b ， c ， p ， q ， r$ 都为常数.

(1)、如果第4天､第5天､第6天感染该病毒的人数分别为 $66 ， 82 ， 115$ ，你认为选择哪个模型比较好？请说明理由；

(2)、不考虑其他因素，推测从第几天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.试用你认为比较好的模型解决上述问题.（参考数据： $2^{10} = 1024 ， \sqrt{7793} \approx 88.28$ ）

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29. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{x} + a x + a - 3)$ （ $a \geq 0$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式： $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x > 0$ 时都有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

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30. 已知 $f (x) = (2 a^{2} - 5 a - 2) l o g_{a} x$ 是对数函数.

(1)、求a的值.

(2)、函数 $g (x) = f (x^{2} + k x + 3)$ ， $x \in [0 ， 2]$ ，是否存在正实数k，使得 $g (x) = 2$ 有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.

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31. 已知函数 $f (x) = l o g_{5} (x^{2} - a x + a)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求a的取值范围：

(3)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的值域：

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32. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x + b (a > 1)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 1)$ ，求b的值：

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最大值与最小值的差为2，求a的值．

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33. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $a = \frac{3}{4}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的值域；

(2)、当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，是否存在这样的实数a，使方程 $f (x) - l o g_{2} \frac{x}{4} = 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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34. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (x + a)$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、若 $f (2) = 2$ ，求a的值.

(2)、若 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值与最小值的差为1，求a的值.

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35. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，函数 $g (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x$ ．

(1)、若 $g (m x^{2} + 2 x + m)$ 的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，求函数 $y = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 3$ 的最小值h(a)；

(3)、是否存在非负实数m，n，使得函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} f (x^{2})$ 的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

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