【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数4

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $a = 2^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{0.7}$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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2. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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3. 已知 $a = \log_{5} 2 ， b = \log_{8} 3 ， c = \frac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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4. 下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = x^{2} + 2 x + 4$ B、 $y = | \sin x | + \frac{4}{| \sin x |}$ C、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ D、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$

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5. 设 $a = 2 \ln 1.01$ ， $b = \ln 1.02$ ， $c = \sqrt{1.04} - 1$ ，则（）

A、a＜b＜c B、b＜c＜a C、b＜a＜c D、c＜a＜b

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6. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{3} 4$ ， $c = l o g_{4} 5$ ，则有（）

A、 $a > b > c$ B、 $a < b < c$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 若实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a^{2} > b^{2} > 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a > b$ B、 $2^{a} > 2^{b}$ C、 $a > | b |$ D、 $l o g_{2} a^{2} > l o g_{2} b^{2}$

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8. 函数 $y = l g (1 - x) + l g (1 + x)$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数也是偶函数 D、非奇非偶函数

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9. 函数 $y = (x - 2)^{2} l n | x |$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} (x + 1) \leq 2} ， B = {x | \frac{x^{2} - x + 2}{x} > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 2 < x \leq 3}$ B、 ${x | x \leq 3}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | 0 < x \leq 3}$

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11. 已知函数 $f (x) = l o g_{0.5} (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， 4]$ B、 $[4 ， + \infty)$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $(- 4 ， 4]$

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12. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{2} (l o g_{3} 2)$ ， $c = 2^{l o g_{3} 2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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13. 函数 $f (x) = l n (x + 3)$ 的图像与函数 $g (x) = | x^{2} - 2 |$ 的图像的交点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、0

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14. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ，则不等式 $f (x) < 2$ 的解集为（）

A、 $(- 4 ， 0) ∪ (0 ， 4)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(\frac{1}{4} ， 4)$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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15. “ $m > n > 0$ ”是“ $(m - n) (l o g_{2} m - l o g_{2} n) > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、填空题

16. 对任意正实数 $a$ ，记函数 $f (x) = | l g x |$ 在 $[a ， + \infty)$ 上的最小值为 $m_{a}$ ，函数 $g (x) = s i n \frac{π x}{2}$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值为 $M_{a}$ ，若 $M_{a} - m_{a} = \frac{1}{2}$ ，则 $a$ 的所有可能值.

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17. 如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）满足关系式： $y = a^{t} l n a$ （a为常数），记 $y = f (t)$ （ $t \geq 0$ ）．给出下列四个结论：
①设 $a_{n} = f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
②存在唯一的实数 $t_{0} \in (1 ， 2)$ ，使得 $f (2) - f (1) = f^{'} (t_{0})$ 成立，其中 $f^{'} (t)$ 是 $f (t)$ 的导函数；
③常数 $a \in (1 ， 2)$ ；
④记浮萍蔓延到 $2 m^{2}$ ， $3 m^{2}$ ， $6 m^{2}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则 $t_{1} + t_{2} > t_{3}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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18. 写出一个同时具有下列四个性质的函数 $f (x) =$ .①定义域为 $(0 ， + \infty)$ ；②单调递增；③ $f (x_{1} x_{2}) + f (1) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；④ $f (1) > 0$ .

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19. 不等式 $\ln^{2} x - \ln x^{2} < 0$ 的解集是.

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{\sqrt{a^{2} + 1} - a}{a})}^{x}$ 是 $R$ 的递减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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21. 若函数 $f (x)$ 满足：（1）对于任意实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ；（2） $f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = f (x_{1}) - f (x_{2})$ ，则 $f (x) =$ .(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)

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22. 若 $a$ 克不饱和糖水中含有 $b$ 克糖，则糖的质量分数为 $\frac{b}{a}$ ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 $m$ 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ( $a > b > 0$ ， $m > 0$ )数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 $\log_{3} 2$ $\log_{15} 10$ (用“ $<$ ”或“ $>$ ”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

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23. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x - 3) ， x \geq 4 \\ 2^{| x - 3 |} ， x < 4 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m - 3$ 有两个根，则实数m的取值范围为．

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24. 函数 $y = \log_{2} (3 - 2 x - x^{2})$ 的值域为.

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25. 已知 $a = \log_{0.3} 0.2 ， b = \log_{2} 0.2$ ，则a+b. $a b$ (填“>”或“=”或“<”).

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三、解答题

26. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 分别是下表第一、二、三行中的数，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 中的任何两个数都不在下表的同一列， ${b_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{3} - 2 b_{1}$ ， $S_{7} = 7 a_{3}$ ．

第一列
第二列
第三列
第一行
1
5
2
第二行
4
3
10
第三行
9
8
20

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = [l g b_{n}]$ ，其中 $[x]$ 是高斯函数，表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[l g 2] = 0$ ， $[l g 98] = 1$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前100项的和 $T_{100}$ ．

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27. 已知 $f (x) = l o g_{a} (a x - 2)$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若 $a = 2$ ， $f (x) < 2$ ，求实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in [4 ， 6]$ ， $f (x)$ 的最大值大于1，求 $a$ 的取值范围．

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28. 设函数 $f (x) = 2^{x} - 1$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ， $g (x) = {log}_{4} (3 x + 1)$ .

(1)、若 $f^{- 1} (x) \leq g (x)$ ，求 $x$ 的取值范围 $D$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $H (x) = g (x) - \frac{1}{2} f^{- 1} (x)$ ，当 $x \in D$ 时，函数 $H (x)$ 的图像与直线 $y = a$ 有公共点，求实数 $a$ 的取值范围.

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29. 若函数 $y = {log}_{a} [m x^{2} - (1 - m) x + m]$ 的定义域不是 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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30. 已知 $p ：$ 对 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ 函数 $f (x) = lg (3 a - a x - x^{2})$ 总有意义， $q ：$ 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 4 x + 3$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数；若命题“ $p \lor q$ ”为真，“ $p \land q$ ”为假，求 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数f（x）=log₂（3+x）﹣log₂（3﹣x），

(1)、求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；

(2)、已知f（sinα）=1，求α的值．

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32. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{1 - m x}{x - 1}$ （a＞0，a≠1）是奇函数．

(1)、求实数m的值；

(2)、判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；

(3)、当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．解：

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33. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{1 - m x}{x - 1}$ （a＞0，a≠1）是奇函数．

(1)、求实数m的值；

(2)、判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；

(3)、当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

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34. 设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；

(1)、当m=2时，解不等式 $f (\frac{1}{x}) > 1$ ；

(2)、若f（0）=1，且 $f (x) = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x} + λ$ 在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；

(3)、如果函数f（x）的图像过点（98，2），且不等式f[cos（2ⁿx）]＜lg2对任意n∈N均成立，求实数x的取值集合．

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35. 已知函数 $f (x) = x \ln x ， e$ 为自然对数的底数．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = e^{- 2}$ 处的切线方程；

(2)、关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq λ (x - 1)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $λ$ 的值；

(3)、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个实根 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $| x_{1} - x_{2} | < 2 a + 1 + e^{- 2}$ ．

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	第一列	第二列	第三列
第一行	1	5	2
第二行	4	3	10
第三行	9	8	20