【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数3

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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2. 设 $a \log_{3} 4 = 2$ ，则 $4^{- a} =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ B、 $2^{a - b} > \frac{1}{2}$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b \geq - 2$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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4. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足m₂-m₁= $\frac{5}{2} \lg \frac{E_{1}}{E_{2}}$ ，其中星等为m_k的星的亮度为E_k（k=1，2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A、10^10.1 B、10.1 C、lg10.1 D、10^-10.1

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5. 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 $a ， b$ ，共可得到 $l g a - l g b$ 的不同值的个数是（）

A、6 B、8 C、12 D、16

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6. 在天文学中，常用星等 $m$ ，光照度 $E$ 等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式 $m_{2} - m_{1} = - 2.5 l g \frac{E_{2}}{E_{1}}$ .已知大犬座天狼星的星等为 $- 1.45$ ，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据 $l g 2 \approx 0.3$ ）（）

A、2 B、1.05 C、0.05 D、 $- 1.05$

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7. 已知 $2^{x} = 3^{y} = 36$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x y = 2 (x + y)$ B、 $x y > 16$ C、 $x + y < 9$ D、 $x^{2} + y^{2} < 32$

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8. 设 $a = l o g_{9} 4$ ，则 $3^{a}$ 的值是（）

A、1 B、2 C、4 D、9

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9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位： $m / s$ ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现 $v = k l n \frac{Q}{100} (k > 0)$ ．当 $v = 0.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当 $v = 1.5 m / s$ 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）

A、12800 B、24800 C、25600 D、51200

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10. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上且与端点不重合，若 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $l n x + l n y$ 的最大值为（）．

A、 $l n 6$ B、 $- l n 6$ C、 $2 l n 2$ D、 $- 2 l n 2$

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11. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为 $M_{0}$ ，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为 $M = M_{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{50}}$ ，若锶89的质量从 $M_{0}$ 衰减至 $\frac{1}{2} M_{0}$ ， $\frac{1}{3} M_{0}$ ， $\frac{1}{12} M_{0}$ 所经过的时间分别为 $t_{1}$ ， $t_{2}$ ， $t_{3}$ ，则（）．

A、 $t_{3} = 2 t_{1} + t_{2}$ B、 $t_{3} = t_{1} + t_{2}$ C、 $t_{2} = 2 t_{1} + t_{3}$ D、 $t_{3} = 2 t_{1} - t_{2}$

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12. 中国的 $5 G$ 技术领先世界， $5 G$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ､信道内信号的平均功率 $S$ ､信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 $1$ 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从 $1000$ 提升至6000，则 $C$ 的增长率为（）（ $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、10% B、16% C、26% D、33%

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13. 若 $a = \lg 0.3 ， b = \log_{3} 2 ， c = \log_{5} 4$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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14. 已知 $x^{2} + y^{2} = 4 (x y \neq 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| x + y | \leq 2 \sqrt{2}$ B、 $| x y | \leq 2$ C、 $l o g_{2} | x | + l o g_{2} | y | < \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{| x |} + \frac{1}{| y |} > \sqrt{2}$

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{1 + x^{2}} - x) + 1$ ， $f (a) = 4$ ，则 $f (- a) =$ 。

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16. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项的积记为 $a_{n}$ ，令 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，则 $b_{3} =$ ， $b_{n} =$ .

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17. 将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“”，将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线，同理可得3级Koch曲线（如图1），…，Koch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称 $D = | l o g_{r} N |$ 为该图形分形维数，则Koch曲线的分形维数是．（精确到0.01， $l o g_{3} 2 \approx 0.631$ ）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（ $n \in N^{*}$ ）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长 $C_{n} =$ ．

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18. $l o g_{2} 7 \cdot l o g_{7} 8 =$ ．

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19. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{1010} \cdot a_{1013} + a_{1011} \cdot a_{1012} = 2 e^{2}$ ，则 $l n a_{1} + l n a_{2} + ⋯ ⋯ + l n a_{2022} =$ .

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20. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{4} a_{8} = 4$ ，则 $l o g_{2} a_{2} + l o g_{2} a_{10} =$ ．

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21. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 4^{x} - 2$ ，则 $f (- l o g_{4} 80) =$ .

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22. 方程 $l o g_{3} (x^{2} - 1) = 2 + l o g_{3} (x - 1)$ 的解为 $x =$ .

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23. 计算： $l o g_{2} 4 =$ .

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24. 方程 $l o g_{2} (x + 1) + l o g_{2} (x - 1) = 1$ 的解为.

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25. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x ， x \leq 4 ， \\ | \log_{2} (x - 4) | ， x > 4 ， \end{array}$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \frac{1}{4} x_{4}$ 的最小值为.

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三、解答题

26. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{6} = 64$ ，且 ${log}_{2} a_{n}$ ， $\frac{1}{2} {log}_{2} a_{n + 1}$ ，1 $(n \in N^{*})$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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27. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} > 0 (n \in N^{*})$ ， $S_{6} + a_{6}$ 是 $S_{4} + a_{4}$ ， $S_{5} + a_{5}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{\frac{1}{2}} a_{2 n - 1}$ ，数列 ${\frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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28. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (a^{2 x} + a^{x} - 2)$ （a＞0），且f（1）=2；

(1)、求a和f（x）的单调区间；

(2)、f（x+1）﹣f（x）＞2．

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29. 已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂ ， a₄的等差中项．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=a_n•log₂a_n ，其前n项和为S_n ，若（n﹣1）²≤m（S_n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

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30. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为 $48 m m^{2}$ ，经过3分钟覆盖面积为 $64 m m^{2}$ ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积 $y$ （单位： $m m^{2}$ ）与经过时间 $x$ （单位： $m i n$ ）的关系现有三个函数模型：① $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ ， $a > 1$ ），② $y = l o g_{b} x$ （ $b > 1$ ），③ $y = p \sqrt{x} + q$ （ $p > 0$ ）可供选择.（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

(1)、选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

(2)、在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过 $300 m m^{2}$ ？（结果保留到整数）

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31. 计算：

(1)、 $l n (e \sqrt{e}) + l o g_{2} (l o g_{3} 81) + 2^{1 + l o g_{2} 3} + \frac{l o g_{\sqrt{3}} 2 + 2 l o g_{3} 5}{l o g_{9} \frac{1}{4} - \frac{1}{3} l o g_{3} 125}$ ；

(2)、若 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，求 $x + x^{- 1}$ 的值.

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32. 计算下列各式的值.

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - 0.7 5^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(2)、 $l o g_{3} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 + 7^{l o g_{7} 2} + {(- 9.8)}^{0}$

(3)、若 $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ ，化简 $\sqrt{\frac{1 - c o s α}{1 + c o s α}} + \sqrt{\frac{1 + c o s α}{1 - c o s α}}$

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33. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 3) + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、当 $a = 10$ 时，设 $g (x) = f (x) - 1$ ，且 $g (3) = m ， g (4) = n$ ，求 $l o g_{6} 45$ （用 $m ， n$ 表示）；

(3)、在（2）的条件下，是否存在正整数 $k$ ，使得不等式 $2 g (x + 1) > l g (k x^{2})$ 在区间 $[3 ， 5]$ 上有解，若存在，求出 $k$ 的最大值，若不存在，请说明理由.

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34. 求值：

(1)、 $(0.125)^{- \frac{1}{3}} - \sqrt[3]{π} \times π^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(3 - π)^{2}}$ ；

(2)、 $2^{l o g_{2} 5} - l g 0.01 + l o g_{a} b \cdot l o g_{b} a$ ．

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35.

(1)、计算： $3^{l o g_{3} 4} + 2 7^{\frac{1}{3}} + l g 5 + l g 20$ ；

(2)、若 $t a n (\frac{π}{2} + α) = 3$ ，求 $\frac{2 s i n α + c o s α}{c o s α - s i n α}$ 的值.

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