【备考2024】高考数学(函数版块)细点逐一突破训练:对数函数2

试卷更新日期:2023-08-17 类型:二轮复习

一、选择题

  • 1. 在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T1gP 的关系,其中 T 表示温度,单位是 KP 表示压强,单位是bar,下列结论中正确的是(   )

    A、T=220P=1026 时,二氧化碳处于液态 B、T=270P=128 时,二氧化碳处于气态 C、T=300P=9987 时,二氧化碳处于超临界状态 D、T=360P=729 时,二氧化碳处于超临界状态
  • 2. 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为(   )( 1010 ≈1.259)
    A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6
  • 3. 若 2a=5b=10 ,则 1a+1b= (    )
    A、-1 B、lg7 C、1 D、log710
  • 4. 设a=log32,b=log53,c= 23 ,则(    )
    A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b
  • 5. 若2a=32b=62c=12 , 则(    )
    A、abc是等差数列 B、abc是等比数列 C、1a1b1c是等差数列 D、1a1b1c是等比数列
  • 6. 已知a=2eπb=eec=e2ln2 , 试比较a,b,c的大小关系为( )
    A、b>c>a B、b>a>c C、c>a>b D、c>b>a
  • 7. 已知5a=2b=log53 , 则log518=( )
    A、a+3b B、a+2b C、2a+b D、3a+b
  • 8. 2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现了地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离,那么至少对折的次数n是(    )(lg20.3lg3.80.6
    A、40 B、41 C、42 D、43
  • 9. 溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为pH=lg[H+] , 其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.已知某溶液的pH值为2.921,则该溶液中氢离子的浓度约为(    )(取lg2=0.301lg3=0.477
    A、1.2×103摩尔/升 B、1.2×104摩尔/升 C、6×103摩尔/升 D、6×104摩尔/升
  • 10. 若x<0b=log32c=log64 , 则关于a、b、c的大小关系,下列说法正确的是( )
    A、c>b>a B、b>c>a C、c>a>b D、a>b>c
  • 11. 香农-威纳指数(H)是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数,其计算公式是H=i=1npilog2pi , 其中n是该群落中生物的种数,pi为第i个物种在群落中的比例,下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表,根据表中数据,该群落的香农-威纳指数值为(    )

    物种

    合计

    个体数量

    300

    150

    150

    600

    A、32 B、34 C、32 D、34
  • 12. 已知数列{an}是首项为12的正项等比数列,若A,B,C是直线l上不同的三点,O为平面内任意一点,且OA=2a2OB+4a3OC , 则(    )
    A、a3=2a2 B、数列{an}的前6项和为6364 C、数列{log2an}是递减的等差数列 D、bn=1log2anlog2an+1 , 则数列{bn}的前n项和的最大值为1
  • 13. 已知a>0b>0 , 且ab=14 , 则下列不等关系成立的是(    )
    A、1a+1b4 B、a+b2 C、log2alog2b1 D、a+lnb12ln2
  • 14. 已知a=ln1.1b=ln1211c=111 , 则下列判断正确的是( )
    A、a<b<c B、b<a<c C、c<b<a D、b<c<a

二、填空题

  • 15. 计算:2lg2+lg52=
  • 16. 已知函数f(x)=log9(x+3)x[0m] , 若x1[0m]x2[0m] , 使得f(x1)=1f(x2) , 则m=
  • 17. 已知函数 f(x)={log4xx>0f(x+3)x0 ,则 f(4) 的值为
  • 18. log2sin15°log12cos345°=
  • 19. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200,计划以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出100头牛,按照该计划预计年初的存栏量首次超过8900头.(参考数据:lg20.3010lg30.4771
  • 20. 某射手每次射击击中目标的概率均为0.6,该名射手至少需要射击次才能使目标被击中的概率超过0.999,(参考数据:lg20.3010lg30.4771
  • 21. 在如今这个5G时代,6G研究己方兴末艾,2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办,会上传出消息,未来6G速率有望达到1Tbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技,有望打造出空天地融合的立体网络,预计6G数据传输速率有望比5G快100倍,时延达到亚毫秒级水平.香农公式C=Wlog2(1+SN)是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道宽带W , 信道内信号的平均功率S , 信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.若不改变宽带W , 而将信噪比SN从11提升至499,则最大信息传递率C会提升到原来的倍.(结果保留一位小数)
  • 22. 计算:log2sinπ4=.
  • 23. 生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q , 一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数模型K(n)=λlnnλ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=Tλ+1 , 在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=6T=50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为(ln20.69ln31.10天.
  • 24. 实数ab满足lga+lgb=lg(a+2b) , 则ab的最小值为.

三、解答题

  • 25. 已知函数 f(x)=exaxg(x)=axlnx 有相同的最小值.
    (1)、求a;
    (2)、证明:存在直线 y=b ,其与两条曲线 y=f(x)y=g(x) 共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
  • 26. 已知各项均为正数的等差数列{an}a2=52a1a3a5+2成等比数列.
    (1)、求{an}的通项公式;
    (2)、设数列{bn}满足an(3bn1)=1Tn为数列{bn}的前n项和,nN , 求证:Tn<log3an+1a1.
  • 27. 已知数列 {logkan} 是首项为4,公差为2的等差数列.( k 为常数, k>0k1 ).

    (Ⅰ)求证:数列 {an} 是等比数列;

    (Ⅱ)当 k=2 时,设 anbn=2n+14n21 ,求数列 {bn} 的前 n 项和 Tn .

  • 28. 设数列 {an} 满足 an=3an1+2(n2) ,且 a1=2bn=log3(an+1) .
    (1)、证明:数列 {an+1} 为等比数列;
    (2)、设 cn=n+22nbnbn+1 ,求数列 {cn} 的前 n 项和 Sn .
  • 29. 已知函数 f(x)=x1x2lnx ,求证:
    (1)、函数 f(x) 有且仅有一个零点;
    (2)、312+523++2n+1n(n+1)>2ln(n+1)(nN*) .
  • 30. 已知函数 f(x)=|3x5|+|3x+3|
    (1)、求不等式 f(x)<40 的解集;
    (2)、若不等式 f(x)>m+2log2m 对任意 xR 恒成立,求 m 的取值范围.
  • 31. 已知函数 f(x)=axlnxx2+2 的图象在点 (11) 处的切线方程为 y=1
    (1)、当 x(02) 时,证明: 0< f(x)<2
    (2)、设函数 g(x)=xf(x) ,当 x(01) 时,证明: 0<g(x)<1
    (3)、若数列 {an} 满足: an+1=f(an)0<a1<1nN* .证明: i=1nlnai<0
  • 32. 已知函数 f(x)=lnxax+1aR ,且a为常数).
    (1)、若函数 y=f(x) 的图象在 x=e 处的切线的斜率为 1e(1e)2e 为自然对数的底数),求a的值;
    (2)、若函数 y=f(x) 在区间 (12) 上单调递增,求a的取值范围;
    (3)、已知 xy(12) ,且 x+y=3 .求证: (2x3)lnxx1+(2y3)lnyy10
  • 33. 某公司欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格)y(单位:万元)是每日产量x(单位:吨)的函数: y=32x2x21lnx(x>1) .
    (1)、求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);
    (2)、记每日生产平均成本 yx=m 求证: m<16
    (3)、若财团每日注入资金可按数列 an=2n4n21 (单位:亿元)递减,连续注入 60 天,求证:这 60 天的总投入资金大于 ln11 亿元.
  • 34. 已知数列 {an} 是公比为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,满足 a1=2 ,且 a2,2S2,a3 成等差数列.
    (1)、求 {an} 的通项公式;
    (2)、若数列 {bn} 满足 bn=log2an ,求 b12b22+b32b42+b52b62++b992b1002 的值.
  • 35. 已知等比数列{an}(其中n∈N*),前n项和记为Sn , 满足: S3=716

    log2an+1=﹣1+log2an

    (1)、求数列{an}的通项公式;
    (2)、求数列{an•log2an}(n∈N*)的前n项和Tn