【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：对数函数1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

L_{p} =

20 \times l g \frac{p}{p_{0}}

，其中常数

p_{0} (p_{0} > 0)

是听觉下限间值，

p

是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

声源	与声源的距离/m	声压级/dB
燃油汽车	10	60~90
混合动力汽车	10	50～60
电动汽车	10	40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3}$ ，则（）

A、

p_{1} ⩾ p_{2}

B、

p_{2} > 10 p_{3}

C、

p_{3} = 100 p_{0}

D、

p_{1} ⩽ 100 p_{2}

查看试题解析

2. 化简 $(2 l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2)$ 的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

查看试题解析
3. 已知 $2^{a} = 5 ， \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3 b} =$ （）

A、25 B、5 C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{5}{3}$

查看试题解析
4. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

查看试题解析
5. 生物入侵指生物由原生存地入侵到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 $Q$ ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 $T$ 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $K (n) = λ l n n$ 来描述该物种累计繁殖数量 $n$ 与入侵时间 $K$ （单位：天）之间的对应关系，且 $Q = \frac{T}{λ} + 1$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $Q = 9$ ， $T = 80$ .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ）（）

A、6.9天 B、11.0天 C、13.8天 D、22.0天

查看试题解析
6. 基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： $I (t) = e^{r t}$ （其中 $e = 2.71828 ⋯ ⋯$ 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 $I (t)$ 随时间 $t$ （单位：天）的变化规律，指数增长率 $r$ 与 $R_{0}$ ， $T$ 近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ .有学者基于已有数据估计出 $R_{0} = 3.28$ ， $T = 6$ ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 $1$ 倍需要的时间约为（）（参考数据： $l n 2 = 0.69$ ， $l n 3 = 1.1$ ）

A、 $1.2$ 天 B、 $1.8$ 天 C、 $2.9$ 天 D、 $3.6$ 天

查看试题解析
7. “绿水青山就是金山银山”理念已经成为全党全社会的共识和行动，工业废水中的某稀有金属对环境有污染，甲企业经过数年攻关，成功开发出了针对该金属的“废水微循环处理利用技术”，废水每通过一次该技术处理，可回收20%的金属．若当废水中该金属含量低于最原始的5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ）

A、12 B、13 C、14 D、15

查看试题解析
8. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 $l n y = - \frac{1}{2} l n t - \frac{k}{t} x^{2} + a$ ，其中k，a为非零常数．已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为 $\frac{m}{2}$ ，则b＝（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} + a_{n} = n (n \in N^{*})$ ，则 $l o g_{2} (1 - a_{2023}) =$ （）

A、-2023 B、 $- \frac{1}{2023}$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、2023

查看试题解析
10. 17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知 $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ，设 $N = 4^{5} \times 9^{10}$ ，则N所在的区间为（）

A、 $(1 0^{11} ， 1 0^{12})$ B、 $(1 0^{12} ， 1 0^{13})$ C、 $(1 0^{13} ， 1 0^{14})$ D、 $(1 0^{14} ， 1 0^{15})$

查看试题解析
11. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ (n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} = l o g_{4} (F_{n} - 1) (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $32 S_{n} = 63 a_{n}$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{5} x | ， 0 < x < 5 ， \\ - c o s (\frac{π}{5} x) ， 5 \leq x \leq 15 . \end{array}$ 若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{375}{4})$ B、 $(0 ， 100)$ C、 $(75 ， \frac{375}{4})$ D、 $(75 ， 100)$

查看试题解析
13. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列，其公差为 $d \neq 0$ ，若 $l n a_{1}$ ， $l n a_{3}$ ， $l n a_{6}$ 也是等差数列，则其公差为（）

A、 $l n d$ B、 $l n 2 d$ C、 $l n \frac{2}{3}$ D、 $l n \frac{3}{2}$

查看试题解析
14. 已知 $a = \frac{1}{2023}$ ， $b = l o g_{2023} \frac{2024}{2023}$ ， $c = l o g_{2024} \frac{2024}{2023}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

查看试题解析

二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

查看试题解析
16. 在财务审计中，我们可以用 “本・福特定律” 来检验数据是否造假. 本・福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据 (均为正实数) 中，首位非零的数字是 $1 ~ 9$ 这九个事件不是等可能的. 具体来说，随机变量 $X$ 是一组没有人为编造的首位非零数字，
则 $P (X = k) = l g \frac{k + 1}{k} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， 9$ . 则根据本 • 福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 (保留至整数).

查看试题解析
17. 某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列 $1 ， 2 ， 2$ ：第三行得到数列 $1 ， 2 ， 2 ， 4 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot$ ，则第5行从左数起第8个数的值为； $A_{n}$ 表示第 $n$ 行所有项的乘积，设 $B_{n} = l o g_{2} A_{n}$ ，则 $B_{7} =$ .

查看试题解析
18. 音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是f， $\frac{9}{8} f$ ， $\frac{81}{64} f$ ， $\frac{4}{3} f$ ， $\frac{3}{2} f$ ， $\frac{27}{16} f$ ， $\frac{243}{128} f$ ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 $α$ ， $β (α > β)$ ， $α$ 称为全音， $β$ 称为半音，则 $l g α^{5} + l g β^{2} - l g 2 =$ ．

查看试题解析
19. 已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ， $c = \frac{l n a - l n b}{a - b}$ ，则在 $l o g_{a} b$ ， $l o g_{a} c$ ， $l o g_{b} a$ ， $l o g_{b} c$ ， $l o g_{c} a$ ， $l o g_{c} b$ 这6个数中，值最小的是．

查看试题解析
20. 已知 $2^{a} = 3 ， 3^{b} = 2$ ，则 $a ， b$ 的大小关系是， $a b =$ .

查看试题解析
21. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过 $n$ 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于 $\frac{99}{100}$ ，则 $n$ 的最小值为.（参考数据： $l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477$ ）

查看试题解析
22. 若实数 $b > a > 1$ ，且 $l o g_{a} b + l o g_{b} a = \frac{10}{3}$ ，则 $3 l n a - l n b =$ .

查看试题解析
23. 在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知 $l o g_{3} x = l g y = \frac{1}{5}$ ，则实数x，y的大小关系为， $l o g_{x} 9 =$ .

查看试题解析
24. 已知 $l g a + b = 2 ， a^{b} = 10$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

查看试题解析
25. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq 3 \\ f (x + 1) ， x < 3 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ .

查看试题解析

三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

查看试题解析
27. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = 1 ， a_{3} + 1$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、集合A为正整数集的某一子集，对于正整数 $k$ ，若存在正整数 $m$ ，使得 $l o g_{2} a_{k} = S_{m}$ ，则 $k \in A$ ，否则 $k \notin A$ ．记数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} l o g_{2} a_{n} ， n \notin A \\ - 1 ， n \in A \end{array}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

查看试题解析
28. 设函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a e^{x}$ ， $g (x) = - 2 - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若在y轴右侧，函数 $f (x)$ 图象恒不在函数 $g (x)$ 的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ .

查看试题解析
29. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 4 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{10} = 55$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $l o g_{2} b_{1} + l o g_{2} b_{2} + ⋯ + l o g_{2} b_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${(- 1)^{n} a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
30. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = S_{n}$ （ $n$ 为正整数）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，若 $b_{m} + b_{m + 1} + b_{m + 2} + ⋯ + b_{m + 9} = 145$ ，求正整数 $m$ 的值.

查看试题解析
31. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $F (x) = \frac{1}{g (s i n (x - 1))} - f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求a的取值范围．

(2)、证明： $\sum_{k = 1}^{n} s i n \frac{1}{k + 1} < l n (n + 1)$ ， n， $k \in N^{*}$

查看试题解析
32. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 10$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{3}$ ， $b_{n} = l g a_{n}$ .

(1)、证明 ${b_{n}}$ 是等比数列，并求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = l o g_{3} b_{1} + l o g_{3} b_{2} + l o g_{3} b_{3} + ⋯ + l o g_{3} b_{n} + l o g_{3} b_{n + 1}$ ，证明： $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + \frac{1}{c_{3}} + ⋯ + \frac{1}{c_{n}} < 2$ .

查看试题解析
33. 正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2$ ，且 $a_{1} > 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} (3^{b_{n}} - 1) = 3$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $3^{T_{100}}$ ．

查看试题解析
34. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + l n (x + 1)}{x} (x > 0)$ .

(1)、试判断函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调性并证明你的结论；

(2)、若 $f (x) > \frac{k}{x + 1}$ 对于 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值；

(3)、求证： $(1 + 1 \times 2) (1 + 2 \times 3) (1 + 3 \times 4) ⋯ [1 + n (n + 1)] > e^{2 n - 3}$ ．

查看试题解析
35. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x} - 1}$ .

(1)、若 $f (x) = 2^{x} - 1$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $(2^{x} + 1) f (2 x) - m f (x) \geq 0$ 对 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析