【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：指数函数6

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $a = \log_{2} 7, b = \log_{3} 8, c = {0.3}^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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2. 已知 $a = \log_{5} 2$ ， $b = \log_{0.5} 0.2$ ， $c = {0.5}^{0.2}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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3. 若a>b，则（）

A、ln(a−b)>0 B、3^a<3^b C、a³−b³>0 D、│a│>│b│

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4. 设a＞0，b＞0，下列命题中正确的是（）

A、若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b B、若2^a+2a=2^b+3b，则a＜b C、若2^a﹣2a=2^b﹣3b，则a＞b D、若2^a﹣2a=2^b﹣3b，则a＜b

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5. 已知 $a = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ， $b = l n π$ ， $c = e^{- \frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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6. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 0.6}$ ， $b = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{2}{9}$ ， $c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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7. 已知 $a = 5^{l o g_{5} 6} - l o g_{2} 9 \times l o g_{\sqrt{3}} 2$ ， $b = l o g_{5} 6 + l o g_{30} 25$ ， $5^{b} + 1 2^{b} = 1 3^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知 $0 < b < a < 1$ ，下列三个命题：① $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $a^{x} > b^{x}$ ， ② $\forall x \in (0 ， 1)$ ， $l o g_{a} x > l o g_{b} x$ ， ③ $\exists x \in (0 ， 1)$ ， $x^{a} > x^{b}$ ．其中是真命题的有（）

A、①③ B、②③ C、①② D、①②③

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，则“ $d < 0$ ”是“ $b_{n + 1} < b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 设 $a = 2 e^{- 0.2}$ ， $b = e^{0.2}$ ， $c = 1.2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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11. 已知 $x \in (e^{- 1} ， 1)$ ，记 $a = l n x ， b = {(\frac{1}{2})}^{l n x} ， c = e^{l n x}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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12. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{| x - 1 |}$ ，设 $a = f (l o g_{5} \frac{1}{6})$ ， $b = f (\frac{1}{2})$ ， $c = f (2^{\frac{3}{2}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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13. 若 $a = l o g_{\frac{1}{π}} \frac{1}{3}$ ， $b = 3^{\frac{π}{3}}$ ， $c = l o g_{3} \frac{π}{5}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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14. 已知函数 $f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， 2]$ 上连续不断，则“ $f (0) + f (1) + f (2) = 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上存在零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、填空题

15. 已知函数f（x）=e^|x^﹣^a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．

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16. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：

（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；
（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）* $\frac{1}{e^{x}}$ 的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的序号为．

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17. 不等式 $5 \times 2^{x} - 4^{x} > 4$ 的解集为.

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18. 碳14是一种著名的放射性物质，像铀235、锶90、碘131、铯137、镭226等也都是放射性物质.放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期.若在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有物质的.

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19. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币n次，若正面向上的次数为0或n，则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%，则n的最小值为.

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20. 已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $[1 ， 2]$ 的最大值与最小值之差等于 $\frac{a}{2}$ ，则实数 $a$ 的值为．

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21. 已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在区间 $[2 ， 3]$ 上的最大值是最小值的2倍，则 $a =$ ．

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22. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积 $S$ （单位：平方米）与时间 $t$ （单位：月）的关系式为 $S = a^{t + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）图象如图所示. 则下列结论：
①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；
②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的 $\frac{1}{4}$ ；
③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；
④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少.
其中正确结论的序号是．

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23. 已知方程 $4^{x} - k \cdot 2^{x + 1} - 3 \cdot 2^{x} + 4 = 0 (x > 0)$ 有两个不相等实根，则 $k$ 的取值范围为．

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24. 水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马孙河流域属于雨久花科，凤眼蓝属的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m²；

③野生水葫芦从4m²蔓延到12m²只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延至2m²、3m²、6m²所需的时间分别为t₁、t₂、t₃ ，则有t₁＋t₂＝t₃；

⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中，正确的是． (填序号)．

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25. 若函数 $y = a^{x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，在 $[2, 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，则 $a =$ .

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26. 若 $a > b$ ，则下列不等式：① $c - 2 a < c - 2 b$ ；② $2^{a} > 2^{b}$ ；③ $(a - b) (a^{3} - b^{3}) > 0$ ；④ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 中成立的是．（填写你认为正确的命题序号）

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三、解答题

27. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ）在定义域上单调递增，且在 $[\frac{1}{2} ， 4]$ 上的最小值为 $- 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求满足 $0 < f (f (x)) < 1$ 的 $x$ 的取值范围．

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28. 设不等式 $| 2 x - 1 | \leq 3$ 的解集为 $P$ ，不等式 $2 \leq 2^{x} \leq 8$ 的解集为 $Q$ .

(1)、求集合 $P$ 、 $Q$ ；

(2)、已知全集 $U = R$ ，求 $\bar{P ∩ Q}$ .

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29. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{10 - a x}$ ，其中 $a$ 是不为零的常数．

(1)、若 $f (3) = \frac{1}{3}$ ，求使得 $f (x) \geq 9$ 的实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值为 $81$ ，求实数 $a$ 的值．

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30. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \lg (6 - x)$ 的定义域为 $A$ ，不等式 ${(\frac{1}{3})}^{x - 1} \leq \frac{1}{9}$ 的解集为 $B$ .

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、已知非空集合 $C = {x | 2 < x < m}$ ，若 $A \cap C = C$ ，则实数 $m$ 的取值范围.

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31. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为 $a$ 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．

(1)、求森林面积的年增长率；

(2)、到今年为止，森林面积为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)、为使森林面积至少达到 $6 a$ 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据： $lg 2 = 0.3010$ ， $lg 3 = 0.4771$ ）

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32. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度D（分贝）由公式 $D = a \lg I + b (a ，$ b为非零常数 $)$ 给出，其中 $I (W / {cm}^{2})$ 为声音能量.

(1)、当声音强度 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3}$ 满足 $3 D_{1} - 2 D_{2} = D_{3}$ 时，求对应的声音能量 $I_{1} ， I_{2} ， I_{3}$ 满足的等量关系式；

(2)、当人们低声说话，声音能量为 $10^{- 13} W / {cm}^{2}$ 时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为 $10^{- 12} W / {cm}^{2}$ 时，声音强度为40分贝.已知声音能量大于60分贝属于噪音，且一般人在大于100分贝小于120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪，则声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

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33. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气 $4 min$ 后，测得车库内的一氧化碳浓度为 $64 μ L / L$ ，继续排气 $4 min$ ，又测得浓度为 $32 μ L / L$ ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度 $y (μ L / L)$ 与排气时间 $t (\min)$ 存在函数关系： $y = c {(\frac{1}{2})}^{m t}$ （ $c$ ， $m$ 为常数）．

(1)、求 $c$ ， $m$ 的值；

(2)、若地下车库中一氧化碳浓度不高于 $0.5 μ L / L$ 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

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34. 已知函数 $f (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，且 $\frac{f (5)}{f (2)} = 8$ .

(1)、若 $f (2 m - 3) < f (m + 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若方程 $| f (x) - 1 | = t$ 有两个解，求实数 $t$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{a x}$ ，a为常数，且函数的图象过点（–1，2）．

(1)、求a的值；

(2)、若g（x）=4^–^x–2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．

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36. 已知 $f (x) = 4^{x - 1} - 2^{x} + 5 (x \in [- 2, 2])$
$($ Ⅰ $)$ 求 $f (x)$ 的值域；

$($ Ⅱ $)$ 若 $f (x) > 3 m^{2} + a m + 2$ 对任意 $a \in [- 1, 1]$ 都成立，求m的取值范围．

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