【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：指数函数5

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = e^{- (x - 1)^{2}}$ ．记 $a = f (\frac{\sqrt{2}}{2}) ， b = f (\frac{\sqrt{3}}{2}) ， c = f (\frac{\sqrt{6}}{2})$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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2. 已知 $9^{m} = 10 ， a = 10^{m} - 11 ， b = 8^{m} - 9$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $a > b > 0$ C、 $b > a > 0$ D、 $b > 0 > a$

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3. 设a=log₃2，b=log₅3，c= $\frac{2}{3}$ ，则（）

A、a<c<b B、a<b<c C、b<c<a D、c<a<b

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4. 已知5⁵<8⁴ ， 13⁴<8⁵ ．设a=log₅3，b=log₈5，c=log₁₃8，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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5. 若 $2^{x} - 2^{y} < 3^{- x} - 3^{- y}$ ，则（）

A、 $\ln (y - x + 1) > 0$ B、 $\ln (y - x + 1) < 0$ C、 $\ln | x - y | > 0$ D、 $\ln | x - y | < 0$

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6. 若正实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，且 $l n a \cdot l n b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $l o g_{a} b > 0$ B、 $a - \frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ C、 $2^{a b + 1} < 2^{a + b}$ D、 $a^{b - 1} < b^{a - 1}$

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7. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}} ， b = l o g_{0.2} 3 ， c = t a n \frac{3 π}{8}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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8. 已知函数 $f (x) = a^{x} + l o g_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过点 $(1 ， 2)$ ，若当 $0 < x_{0} \leq k (k \in N^{*})$ 时， $f (x)$ 的值域中正整数的个数超过2023个，则 $k$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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9. 已知R为实数集，集合 $A = {x | \frac{2}{x - 1} < 1}$ ， $B = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} < 4}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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10. 已知 $a = {(\frac{9}{11})}^{0.1} ， b = l o g_{9} 10 ， c = l g 11$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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11. 已知集 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x ∣ 3^{x} < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$

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12. 设 $a = l o g_{2} 0.3$ ， $b = l o g_{\frac{1}{2}} \frac{2}{5}$ ， $c = 0 . 4^{0.3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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13. 若实数a，b满足 $\ln b < \ln a < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\log_{a} 3 < \log_{b} 3$ D、 $a^{b} > b^{a}$

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14. 若 $a > b > 1$ ， $0 < m < 1$ ，则（）

A、 $a^{m} < b^{m}$ B、 $m^{a} < m^{b}$ C、 $l o g_{m} a < l o g_{m} b$ D、 $l o g_{a} m < l o g_{b} m$

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15. 已知 $a = 2^{\frac{3}{5}} ， b = l g \frac{3}{5} ， c = {(\frac{3}{5})}^{0.6}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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二、填空题

16. 定义开区间 $(a ， b)$ 的长度为 $b - a$ ．经过估算，函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - x^{\frac{1}{3}}$ 的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过 $\frac{1}{6}$ 的开区间）．

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17. 给出两个条件：① $a ， b \in R$ ， $f (a + b) = f (a) f (b)$ ；②当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ （其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数）．请写出同时满足以上两个条件的一个函数．（写出一个满足条件的函数即可）

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18. 不等式 $1 0^{x} - 6^{x} - 3^{x} \geq 1$ 的解集为.

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19. 一张 $B 4$ 纸的厚度为 $0.093 m m$ ，将其对折后厚度变为 $a_{1} = 0.186 m m$ ，第2次对折后厚度变为 $a_{2} = 0.372 m m$ …，第 $n$ 次对折后厚度变为 $a_{n} m m$ ，则 $a_{n} =$ ，数列 ${a_{n} (n^{3} + 6 n^{2} + 6 n + 2)}$ 的前 $n$ 项和为.

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20. 函数 $y = 3^{x} + \frac{a}{3^{x} + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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21. 赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为元．（精确到0.01元，参考数据 $\frac{{(1 + 0.5 ％)}^{12}}{{(1 + 0.5 ％)}^{12} - 1} \approx 17.213$ ）

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22. 定义符号函数 $g (x) = {\begin{array}{l} 1, (x > 0) \\ 0, (x = 0) \\ - 1, (x < 0) \end{array}$ ，若函数 $f (x) = g (x) \cdot e^{| x |}$ ，则满足不等式 $f (a^{2} + 3 a) < f (a + 3)$ 的实数a的取值范围是．

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23. 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半.假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x的关系式可以表示为.

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24. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x - 1}, x < 1, \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ 则 $f (x) \leq 3$ 成立的 $x$ 的取值范围为．

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25. 函数 $f (x) = lg (3^{x} - 2^{x})$ 的定义域为．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ .

(1)、设 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是 $y = f (x)$ 图象上的两点，直线 $A B$ 斜率 $k$ 存在，求证： $k > 0$ ；

(2)、求函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 4 m f (x) (m \in R)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值.

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27. 若等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足a₄﹣a₁＝S₃ ， a₅﹣a₁＝15．

(1)、求数列{a_n}的首项a₁和公比q；

(2)、若a_n＞n+100，求n的取值范围．

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28. 一家污水处理厂有 $A 、 B$ 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水， $A$ 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%， $B$ 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.

(1)、 $A$ 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

(2)、如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若 $A 、 B$ 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

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29. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c \in R$ ）.

(1)、当 $f (1) = - 1$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 2)$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的不等式 $2^{f (x)} - \frac{1}{4} > 0$ 对一切实数恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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30. 已知 $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ ， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的反函数，不等式 $1 < f (x) \leq 3$ 的解集为 $M$
(I)求集合 $M$

(II)当 $x \in M$ 时，求函数 $g (- \frac{1}{x})$ 的值域.

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31. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (x + 3)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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32. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = 2^{(a - 3) x + (3 a - 4)}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $s i n \frac{π}{6} < f (x) < s i n \frac{π}{4}$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - 4^{(\frac{1}{2 x} + a)} = 0$ 有且仅有一个负数根，求实数 $a$ 的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) + a x$ 是偶函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} + m \cdot 2^{f (x)}$ 的最小值为 $- 3$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、当 $k$ 为何值时，讨论关于 $x$ 的方程 $[f (x) - 1 + k] [f (x) - 1 - 4 k] + 2 k^{2} + k = 0$ 的根的个数．

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34.

(1)、已知 $0 < a < 1$ 若 $a^{2 x - 1} > a^{x - 3}$ ，求x的取值范围．（结果用区间表示）

(2)、已知 $s i n α = - \frac{12}{13}$ ，求 $c o s α 、 t a n α$ 的值．

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35. 某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．

(1)、列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；

(2)、为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据： $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771 ， l g 1.2 \approx 0.0792$

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