【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：指数函数3

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设 $a = 2 \ln 1.01$ ， $b = \ln 1.02$ ， $c = \sqrt{1.04} - 1$ ，则（）

A、a＜b＜c B、b＜c＜a C、b＜a＜c D、c＜a＜b

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2. 设 $a = \log_{2} 0.3 ， b = \log_{\frac{1}{2}} 0.4 ， c = {0.4}^{0.3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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3. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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4. 设 $a = \frac{10}{9} ， b = e^{s i n \frac{1}{10}} ， c = 1 + l n \frac{19}{17}$ ， $($ 其中 $e$ 是自然对数的底数 $)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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5. 设 $a = {(\frac{3}{4})}^{0.5}$ ， $b = {(\frac{4}{3})}^{0.5}$ ， $c = l o g_{\frac{3}{4}} (l o g_{3} 4)$ 则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x e^{x}}{| x |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $a = 1 . 2^{0.1}$ ， $b = l o g_{4} 3$ ， $c = l o g_{\frac{1}{2}} 3$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $a > b > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x - y > l n \frac{y}{x}$ ，则（）

A、 $x > y$ B、 $x + \frac{1}{y} > y + \frac{1}{x}$ C、 $l n (x - y) < 0$ D、 $\frac{1}{2^{x}} < 2^{- y}$

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9. 已知 $3^{m} = 4$ ， $a = 2^{m} - 3$ ， $b = 4^{m} - 5$ ，则（）

A、 $a > 0 > b$ B、 $b > 0 > a$ C、 $a > b > 0$ D、 $b > a > 0$

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10. 已知 $a = l g 5 ， b = s i n \frac{π}{7} ， c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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11. 若 $a > b > 0$ ，则一定有（）

A、 $c o s a < c o s b$ B、 $2^{a} - 2^{b} < 0$ C、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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12. 设 $a = 4^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{4})}^{- 0.8}$ ， $c = 0 . 8^{0.7}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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13. 已知函数 $y = 3^{2^{x}} - 2^{3^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减，函数 $y = 4^{3^{x}} - 3^{4^{x}}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上先增后减.若 $l o g_{2} (l o g_{3} x_{1}) =$ $l o g_{3} (l o g_{2} x_{1}) = a > 0$ ， $l o g_{2} (l o g_{4} x_{2}) = l o g_{4} (l o g_{2} x_{2}) = b$ ， $l o g_{3} (l o g_{4} x_{3}) = l o g_{4} (l o g_{3} x_{3}) = c > 0$ ，则（）

A、 $a < c$ B、 $b < a$ C、 $c < a$ D、 $a < b$

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二、填空题

14. 如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是.

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15. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = x^{2} + a x (a \in R)$ .对于不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，设 $m = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ， $n = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，现有如下命题：
①对于任意不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $m > 0$ ；

②对于任意的a及任意不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $n > 0$ ；

③对于任意的a，存在不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $m = n$ ；

④对于任意的a，存在不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $m = - n$ .

其中真命题有(写出所有真命题的序号).

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16. 设 $a = \log_{2021}^{\sqrt{2022}}$ ， $b = 2021^{\frac{1}{2022}}$ ， $c = \log_{2022} \frac{1}{2021}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是．（按照从大到小的顺序排列）

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17. 设 $a = e^{1.5}, b = \log_{3} e, c = \log_{\frac{1}{3}} 5$ ，则 $a, b, c$ 按从小到大的顺序为．

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18. 函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，则 $a$ 的值为.

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19. 设a，b，c均为正数，且e^a=-lna，e^-b=-lnb，e^-c=lnc，则a，b，c按从小到大的顺序排列为。

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20. 已知函数 $f (x) = 4 + \log_{a} (2 x - 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，且点P在函数 $g (x) = x^{α}$ 的图象上，则 $α =$ .

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq a \\ x^{2}, x > a \end{array}$ ，若 $a = 1$ ，则不等式 $f (x) \leq 2$ 的解集为，若存在实数 $b$ ，使函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是．

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22. 若函数 $f (x) = a^{x}$ (a＞0且a≠1)在定义域[m ， n]上的值域是[m² ， n²](1＜m＜n)，则a的取值范围是．

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23. 设函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y = （ \frac{1}{3} ）^{x + a}$ 的图象关于直线 $y = - x$ 对称，且 $f (- 3) + f (- \frac{1}{3}) = 4$ ，则实数 $a =$ ．

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24. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上的值域为．

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - 5 a + 7) \cdot {(a - 1)}^{x}$ 是指数函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、已知 $g (x) = f^{2} (x) - 2 f (x) + 3$ ， $x \in [- 1 ， 2]$ ，求 $g (x)$ 的值域.

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26. 已知 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) > k f (2 x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = a^{x} - 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）满足 $f (1) + f (2) = - \frac{14}{9}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解不等式 $f (x) > 2$ .

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28. 已知 $f (x)$ 是幂函数， $g (x)$ 是指数函数，且满足 $f (2) = g (2)$ ， $g (5) = 2 f (4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、若 $A = {y | y = \frac{f (g (x)) - 1}{f (g (x)) + 1}}$ ， $B = {y | y = \frac{g (f (x)) - 1}{g (f (x)) + 1}}$ ，请判断“ $m \in A$ 是 $m \in B$ 的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．

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29. 已知 $a > 0 ， a \neq 1$ ，且 $l o g_{a} 10 > 1$ ，若函数 $f (x) = l o g_{a} x$ 在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)、求a的值；

(2)、解不等式 ${(\frac{1}{3})}^{x^{2} - a x} > \frac{1}{27}$ ；

(3)、求函数 $g (x) = l o g_{a} (x^{2} - 2 x)$ 的单调区间.

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30. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， 2)$ ，求b的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，求a的值．

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31. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ 上的最大值；

(3)、若 $g (x) = f (x) - x$ ，求证： $g (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内存在零点．

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32. 已知奇函数 $f (x) = a - \frac{4}{3^{x} + 1} (x \in R)$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、对任意的 $x \in R$ ，不等式 $f (x) \leq 2 + 3^{x} - t$ 恒成立，求实数t的最大值．

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33. 为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长 $10 %$ .

(1)、以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第 $x$ 年该企业投入的研发资金数 $y$ （万元）与 $x$ 的函数关系式以及函数的定义域；

(2)、该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？

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34. 已知函数 $f (x) = a \cdot 4^{x} - 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 4 ， 4]$ 上的奇函数，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x) = 2^{x} + a \cdot 4^{x} (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 4 ， 0)$ 上的解析式；

(2)、若 $x \in [- 2 ， - 1]$ ，不等式 $f (x) \leq \frac{m}{2^{x}}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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