【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：指数函数2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $a = 1.0 1^{0.5} ， b = 1.0 1^{0.6} ， c = 0 . 6^{0.5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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2. 已知 $a = 2^{0.7}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{0.7}$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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3. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $y = 2^{- x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 3}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} \geq \frac{1}{8}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 $[1 ， 8]$ B、 $(0 ， 8]$ C、 $(0 ， 3]$ D、 $[3 ， 8]$

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6. 若 $a = l o g_{0.3} 0.4$ ， $b = 1 . 2^{0.3}$ ， $c = l o g_{2.1} 0.9$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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7. 设集合 $M = {x \in Z ∣ 100 < 2^{x} < 1000}$ ，则 $M$ 的元素个数为（）

A、3 B、4 C、9 D、无穷多个

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8. 若 $6^{a} = 2 ， 6^{b} = 3$ ，则（）

A、 $\frac{b}{a} > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ D、 $b - a > \frac{1}{5}$

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9. 已知 $a = 3^{\frac{2}{3}}$ ， $b = 2^{\frac{3}{4}}$ ， $c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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10. 已知 $a = 1 . 1^{1.2} ， b = 1 . 2^{1.3} ， c = 1 . 3^{1.1}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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11. 已知集合 $M = {x | \frac{x}{x - 1} \leq 0}$ ， $N = {x | {(\frac{2}{3})}^{x} > 1}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x < 0}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 1}$

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12. 已知 $a = l o g_{0.7} 0.3 ， b = l o g_{0.3} 0.7 ， c = 0.5$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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13. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (3^{x - 1} + 3) - \frac{1}{2} x$ ，若 $f (a - 1) \geq f (2 a + 1)$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 2] ∪ [0 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ [\frac{4}{3} ， + \infty)$

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14. 设 $a = l o g_{5} 3 ， b = e^{- 1} ， c = l o g_{16} 9 \cdot l o g_{27} 8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

15. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的值域是；

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{3 e^{x}}{1 + e^{x}}$ ，则 $f (x) + f (- x) =$ ；若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (4 - a x) + f (x^{2}) \geq 3$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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17. 若函数 $y = a^{x} (a > 1)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值与最小值的差为2，则 $a =$ ．

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其值域为 $(- 1 ， + \infty)$ ，则 $f (x)$ 可以是.（写出一个满足条件的函数表达式即可）

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19. 不等式 ${(\frac{1}{2})}^{x} > 1$ 的解集为．

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20. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 $r (r > 0)$ ，劳累程度 $T (0 < T < 1)$ ，劳动动机 $b (1 < b < 5)$ 相关，并建立了数学模型 $E = 10 - 10 T \cdot b^{- 0.14 r}$ ．
已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：
①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；
@甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；
③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：
④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．
其中所有正确结论的序号是．

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21. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ；② $f (x) > 3$ ；③ $f (x) > f (x)$ .

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22. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：．
① $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ；② $f (x) > 0$ ；③ $f (x) > f (x)$ ．

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23. 函数 $y = a^{x - 3} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A，若点A在直线 $m x + n y - 1 = 0$ 上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则mn的最大值为.

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24. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 1 ， x \leq 0 \\ 3^{x} + m ， x > 0 \end{array}$ 在R上存在最小值，则m的取值范围是.

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25. 函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量 $c = a + b$ ，而 $c$ 所对应的函数值 $f (c)$ 可以通过 $f (c) = f (a) \cdot f (b)$ 得到，并且对另一个量 $d$ ，若 $d > c$ ，则都可以得到 $f (d) > f (c)$ .根据自己所学的知识写出一个能够反映 $f (c)$ 与 $c$ 的函数关系式：.

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三、解答题

26. 已知 $a > b$ 均为不是1的正实数，设函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = a \cdot b^{x} (x \in R)$ ．

(1)、设 $a > b$ 且 $f (x) \leq b \cdot a^{x}$ ，求x的取值范围；

(2)、设 $a = \frac{1}{16}$ ， $b = 4$ ，记 $a_{n} = l o g_{2} f (n)$ ， $b_{n} = f (n)$ ，现将数列 ${a_{n}}$ 中剔除 ${b_{n}}$ 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为 ${c_{n}}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{100} c_{i}$ 的值．

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27. 已知函数 $f (x) = a - \frac{3}{2^{x} + 1}$ .（a为实常数）

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、当 $f (x)$ 为奇函数时，对任意 $x \in [1, 6]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{u}{2^{x}}$ 恒成立，求实数u的最大值.

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28. 已知数 $f (x) = e^{x} - a (x - 1) - b$ ，其中 $a ， b \in R ， e$ 为自然对数底数

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若a＞0，函数 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 都成立，求a＋b的最大值.

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29. 已知函数f（x）=（ $\frac{1}{2}$ ）^ax ， a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．

(1)、求a的值；

(2)、若g（x）=4^﹣^x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．

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30. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数： $s i n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .（e是自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ ）.

(1)、计算 $c o s h (2) - 2 c o s h^{2} (1)$ 的值；

(2)、类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： $c o s h (x + y) =$ ，并加以证明；

(3)、若对任意 $t \in [0 ， l n 2]$ ，关于 $x$ 的方程 $s i n h (t) + c o s h (x) = a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} + a}{2^{x}}$ 为偶函数.

(1)、求出a的值，并写出单调区间；

(2)、若存在 $x \in [0 ， 1]$ 使得不等式 $b f (2 x) + 1 \geq f (x)$ 成立，求实数b的取值范围.

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32. 若函数 $f (x) = (a^{2} - 3 a + 3) \cdot a^{x}$ 是指数函数，求函数 $y = l o g_{a} (x + 1)$ 在区间 $(0 ， 3)$ 上的值域．

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33. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的图象经过点 $(0 ， - 1)$ ．

(1)、求实数b；

(2)、若 $f (x^{2} - 2 x) < f (3)$ ，求x的取值集合．

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34. 已知指数函数 $f (x)$ 满足 $f (1) - f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) + k f (x)$ ，若方程 $g (x) + g (- x) + 10 = 0$ 有4个不相等的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ．
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（i i）证明： $| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | + | x_{4} | < 4$ ．

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35. 已知指数函数 $y = f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值与最小值之和等于12．

(1)、求 $y = f (x)$ 的表达式：

(2)、若函数 $y = g (x) ， x \in R$ 是奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) = f (x) - 5$ ．试求函数 $y = g (x)$ 的表达式，并求此函数的零点．

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