【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：指数函数1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $2^{a} = 5 ， \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3 b} =$ （）

A、25 B、5 C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行． $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
$\frac{M_{1}}{{(R + r)}^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ .设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于 $α$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{{(1 + α)}^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，则r的近似值为（）

A、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$ B、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$ D、 $\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$

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3. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A、 $\frac{p + q}{2}$ B、 $\frac{(p + 1) (q + 1)}{2}$ C、pq D、 $\sqrt{(p + 1) (q + 1)}$ ﹣1

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4. 已知x，y为正实数，则（）

A、2^lgx+lgy=2^lgx+2^lgy B、2^lg^（^x+y^）=2^lgx•2^lgy C、2^lgx^•^lgy=2^lgx+2^lgy D、2^lg^（^xy^）=2^lgx•2^lgy

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5. 已知 $l o g_{2} a = 0 . 5^{a} = 0 . 2^{b}$ ，则（）

A、 $a < 1 < b$ B、 $1 < a < b$ C、 $b < 1 < a$ D、 $1 < b < a$

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6. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $l o g_{2} a < l o g_{2} b < 0$ ，则下列各项中一定成立的是（）

A、 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ B、 $s i n 2 a < s i n 2 b$ C、 $l o g_{a} e < l o g_{b} e$ D、 $a^{b} < b^{a}$

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7. 车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱 $.$ 根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级 $x$ （ $x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ ）与其对应等级的市场销售单价 $y ($ 单位：元 $/$ 千克 $)$ 近似满足函数关系式 $y = e^{a x + b}$ $.$ 若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且 $3$ 级果的市场销售单价为60元 $/$ 千克，则6级果的市场销售单价最接近（） $($ 参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ ， $\sqrt[3]{3} \approx 1.44$ $)$

A、130元 $/$ 千克 B、160元 $/$ 千克 C、170元 $/$ 千克 D、180元 $/$ 千克

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8. 下列运算错误的是（）

A、a³+a³=2a⁶ B、a⁶÷a^-3=a⁹ C、a³·a³=a⁶ D、（-2a²）³=-8a⁶

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9. 中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数 $I_{C R F}$ 对计算度电成本具有重要影响．等年值系数 $I_{C R F}$ 和设备寿命周期 $N$ 具有如下函数关系 $I_{C R F} = \frac{0.05 {(1 + r)}^{N}}{{(1 + r)}^{N} - 1}$ ， $r$ 为折现率，寿命周期为 $10$ 年的设备的等年值系数约为 $0.13$ ，则对于寿命周期约为 $20$ 年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（）

A、0.03 B、0.05 C、0.07 D、0.08

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10. 某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为 $N = N_{0} e^{- k t}$ （ $N_{0}$ 为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（）小时．

A、9 B、6 C、4 D、3

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11. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且 $y$ 随时间 $t$ （单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间 $t$ （单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据 $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.098$ ）

A、7 B、9 C、10 D、11

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12. 2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数 $f (t) = {\begin{array}{l} {(\frac{t}{t_{1}})}^{2} ， & 0 < t ⩽ t_{1} \\ 1 ， & t_{1} < t ⩽ t_{2} \\ \frac{1}{e^{c (t - t_{2})}} ， & t_{2} < t ⩽ t_{d} \end{array}$ ， $t_{1} ， t_{2}$ （单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻； $t_{d}$ （单位：秒）表示地震动总持时； $c$ 是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当 $t = 15$ 秒时，地震动时程强度包络函数值是（）

A、 $e^{- 1}$ B、1 C、9 D、 $e^{- 2}$

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13. 充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位： $k W \cdot h$ ）与充电时间t（单位： $m i n$ ）满足函数 $E (t) = M (1 - e^{- k t})$ ，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为 $80 k W \cdot h$ ，充电 $30 m i n$ 充入了 $40 k W \cdot h$ 的电量；电池B的容量为 $60 k W \cdot h$ ，充电 $15 m i n$ 充入了 $20 k W \cdot h$ 的电量.设电池A的充电效率为 $k_{1}$ ，电池B的充电效率为 $k_{2}$ ，则（）

A、 $k_{1} > k_{2}$ B、 $k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{1} = k_{2}$ D、 $k_{1} ， k_{2}$ 大小关系无法确定

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14. 1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 $\frac{3}{4}$ 次幂成正比，即 $F = c_{0} M^{\frac{3}{4}}$ ，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据： $\sqrt[4]{10} \approx 1.7783$ ）（）

A、5.4倍 B、5.5倍 C、5.6倍 D、5.7倍

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = 4^{x} + l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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16. 请写出满足方程 $3^{x} - \frac{3}{2} = l o g_{5} y$ 的一组实数对 $(x ， y)$ ：．

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17. 若实数 $x$ 、 $y$ 满足 $l g x = m$ 、 $y = 1 0^{1 - m}$ ，则 $x y =$ ．

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18. ① $0 . 3^{5} > l o g_{3} 5$ ， ② $l n \sqrt{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ③ $e^{\frac{2}{3}} > 2$ ， ④ $2 l n (s i n \frac{1}{8} + c o s \frac{1}{8}) < \frac{1}{4}$ ，上述不等式正确的有（填序号）

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2}$ 与 $g (x) = l n x$ 的图象在公共点处有共同的切线，则实数 $a$ 的值为．

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20. ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + 4^{l o g_{2} \sqrt{2}} + l o g_{\sqrt{2}} 4 =$ .

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21. 若 $a = \log_{3} 2$ ，则 $9^{a} + 3^{- a} =$

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22. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $2^{x} \cdot 4^{y} = {(2^{x})}^{y}$ ，则 $x + y$ 的最小值为.

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23. 已知 $a > 0 ， b > 0$ ，若 $\log_{3} a = \log_{4} b = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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24. lg1+ $2^{0}$ - $\sqrt{{(- 2)}^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ 的值为。

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25. 若 $a^{\frac{3}{2}} = \frac{27}{8}$ ，则 $a =$ ； $\log_{\frac{3}{2}} a =$ ．

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三、解答题

26. 计算下列各式的值.

(1)、 $27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(3 - π)}^{0} + {(2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{2}})}^{6}$ ；

(2)、 ${log}_{2} 8 - (lg 4 + lg 25) - {log}_{5} 8 \cdot {log}_{2} 5 + 7^{{log}_{7} 2}$ .

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27. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n}$ ， $\sqrt{a_{n + 1}}$ ， $a_{n} + 2$ 成等比数列， $T_{n} = (1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \cdot \cdot \cdot (1 + a_{n})$ ．

(1)、证明：数列 ${l n (1 + a_{n})}$ 是等比数列；

(2)、求 $T_{n}$ 及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} + \frac{1}{2 a_{n} + 4}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$

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28. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{6} = 2$ ， $a_{4} + a_{5} = 12$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{1} a_{3} a_{5} \dots a_{2 n - 1}$ ， $n \in N *$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的最大项.

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29. 化简求值：

(1)、 ${(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + π^{0} + \log_{2} \frac{2}{3} - \log_{4} \frac{16}{9}$ ；

(2)、已知 $\tan α = - 2$ ，求 $\frac{2 \sin (π - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (- α) + \sin (α - 3 π)}$ 的值．

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30. 已知函数 $f (x) = | x + \sqrt{3 + a}$ |﹣ $| x - \sqrt{1 - a}$ |，其中﹣3≤a≤1．

（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）对于任意α∈[﹣3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．

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31. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数： $s i n h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $c o s h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ .（e是自然对数的底数， $e = 2.71828 ⋯$ ）.

(1)、计算 $c o s h (2) - 2 c o s h^{2} (1)$ 的值；

(2)、类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： $c o s h (x + y) =$ ，并加以证明；

(3)、若对任意 $t \in [0 ， l n 2]$ ，关于 $x$ 的方程 $s i n h (t) + c o s h (x) = a$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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32.

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a^{2} + a^{- 2} - 7}{a + a^{- 1} + 3}$ 的值；

(2)、已知 $\frac{2 c o s (- θ) + s i n (π - θ)}{c o s (\frac{π}{2} - θ) + s i n (\frac{3 π}{2} - θ)} = 4$ ，求 $t a n θ$ 的值.

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33. 求解下列问题：

(1)、求值： $2 7^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(π - 4)^{2}} + l o g_{2} (4^{7} \cdot 2^{π})$ ；

(2)、已知 $t a n α = 3$ ，求 $\frac{s i n (π - α) + c o s (π + α)}{c o s (2 π - α) - s i n (- α)}$ 的值．

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34. 计算：

(1)、 $5^{l o g_{5} 3} - l o g_{3} 11 \cdot l o g_{11} 27 + l o g_{8} 2 + l o g_{4} 8$ ；

(2)、若 $3^{m} - 3^{- m} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $9^{m} + 9^{- m}$ 的值.

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35. 求下列各式的值：

(1)、已知 $a ， b$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个实根，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值；

(2)、化简 $\sqrt{8^{\frac{2}{3}}} - {(l o g_{25} 10)}^{- 1} + 4^{l o g_{2} 3} + \sqrt{4 l g^{2} 2 - 4 l g 2 + 1}$ ，并求值.

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