【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的图象与图象变化

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4} ， g (x) = \sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设D是含数1的有限实数集， $f （ x ）$ 是定义在D上的函数，若 $f （ x ）$ 的图像绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 后与原图像重合，则在以下各项中， $f （ 1 ）$ 的可能取值只能是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、0

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5. 已知函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ ，若函数 $h (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则 $h (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $h (x) = f (x) + g (x)$ B、 $h (x) = f (x) - g (x)$ C、 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ D、 $h (x) = f (x) g (x)$

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6. 某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：
某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温

根据图表判断，以下结论正确的是（）

A、8月每天最高气温的平均数低于35℃ B、8月每天最高气温的中位数高于40℃ C、8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差 D、8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差

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7. 四参数方程的拟合函数表达式为 $y = \frac{a - d}{1 + {(\frac{x}{c})}^{b}} + d (x > 0)$ ，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如 $y = x^{- 1}$ ），还可以是一条S形曲线，当 $a = 4$ ， $b = - 1$ ， $c = 1$ ， $d = 1$ 时，该拟合函数图象是（）

A、类似递增的双曲线 B、类似递增的对数曲线 C、类似递减的指数曲线 D、是一条S形曲线

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8. 函数 $g (x) = f (x) - f (- x) + 1$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x - 1} + 2^{1 - x} - 2 ， x \geq 0 \\ | l o g_{4} (- x) | ， x < 0 \end{array}$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 的最小值是（）

A、-2 B、 $- \frac{3}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = l n | x |$ ， $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，则图象如图的函数可能是（）

A、 $f (x) + g (x)$ B、 $f (x) - g (x)$ C、 $f (x) g (x)$ D、 $\frac{f (x)}{g (x)}$

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12. 已知函数 $f (x) = | \log_{2} | x - | |$ ，若方程 $f (x) = a (a > 0)$ 的4个不同实根从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，有以下三个结论：① $x_{1} + x_{4} = 2$ 且 $x_{2} + x_{3} = 2$ ；②当 $a = 1$ 时， $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ 且 $\frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} = 1$ ；③ $\frac{x_{2}}{x_{3}} + \frac{x_{1}}{x_{4}} = 0$ ．其中正确的结论个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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13. 函数 $y = \frac{x}{\ln x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} ， x \geq 1 \\ 4 x^{2} - 8 x + 5 ， x < 1 \end{array}$ （e为自然对数的底数），若关于x的不等式 $f (x) < a | x - 1 |$ 解集中恰含有一个整数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(e ， 4]$ B、 $(\frac{e^{2}}{2} ， 5]$ C、 $(e ， \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(e ， 5]$

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二、填空题

15. 已知函数 $f (x) = \frac{4 \cos (ω x + φ)}{e^{| x |}}$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图像如图所示，则 $ω + φ =$ ．

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16. 写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数
①当 $x_{1} x_{2} \geq 0$ 时， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；② $f (x)$ 为偶函数

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17. 设定义域为R的函数 $f (x) = {\begin{matrix} 5^{| x - 1 |} - 1 ， x \geq 0 \\ x^{2} + 4 x + 4 ， x < 0 \end{matrix}$ 若关于x的方程 $f^{2} (x) - (2 m + 1) f (x) + m^{2} = 0$ 有7个不同的实数根，则实数 $m =$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + a \cdot 2^{x}} (a \in R)$ 的图象关于点 $(0 ， \frac{1}{2})$ 对称，则 $a =$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = | x + \frac{1}{x} + a |$ ，若对任意实数 $a$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq m$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上总有解，则实数 $m$ 的取值范围为.

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20. 已知关于 $x$ 的方程 $| x | (x - a) = 1$ 在 $(- 2 ， + \infty)$ 上有3个相异实根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{2}{x} ， x \geq 2 \\ {(x - 1)}^{3} ， x < 2 \end{matrix}$ ，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是．

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22. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为 $A D$ 的中点，射线 $O P$ 从 $O A$ 出发，绕着点 $O$ 顺时针方向旋转至 $O D$ ，在旋转的过程中，记 $∠ A O P$ 为 $x$ $(x \in [0 ， π])$ ， $O P$ 所经过的在正方形 $A B C D$ 内的区域（阴影部分）的面积 $S = f (x)$ ，那么对于函数 $f (x)$ 有以下三个结论：
① $f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；② 对任意 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都有 $f (\frac{π}{2} - x) + f (\frac{π}{2} + x) = 4$ ；
③ 对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；
其中所有正确结论的序号是；

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23. 已知 $f (x)$ 满足 $f (x) + 1 = \frac{1}{f (x + 1)} ，$ 当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x .$ 若函数 $g (x) = f (x) - m x - m$ 在 $(- 1 ， 1]$ 内有2个零点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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24. 已知函数g（x）=（a+1）^x^﹣²+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数 $f (x) = \log_{\sqrt{3}}$ （x+a）的图象上．则实数a= ．

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三、解答题

25. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

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26. 如图，在海岸线 $E F$ 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 $F G B C$ ，该曲线段是函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， φ \in (0 ， π))$ ， $x \in [- 4 ， 0]$ 的图像，图像的最高点为 $B (- 1 ， 2)$ ．边界的中间部分为长1千米的直线段 $C D$ ，且 $C D ∥ E F$ ．游乐场的后一部分边界是以 $O$ 为圆心的一段圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ ．

(1)、求曲线段 $F G B C$ 的函数表达式；

(2)、曲线段 $F G B C$ 上的入口 $G$ 距海岸线 $E F$ 最近距离为1千米，现准备从入口 $G$ 修一条笔直的景观路到 $O$ ，求景观路 $G O$ 长；

(3)、如图，在扇形 $O D E$ 区域内建一个平行四边形休闲区 $O M P Q$ ，平行四边形的一边在海岸线 $E F$ 上，一边在半径 $O D$ 上，另外一个顶点P在圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ 上，且 $∠ P O E = θ$ ，求平行四边形休闲区 $O M P Q$ 面积的最大值及此时 $θ$ 的值．

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27. 设函数 $f (x) = {log}_{a} (x - 3 a)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），当点 $P (x ， y)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象上的点时，点 $Q (x - 2 a ， - y)$ 是函数 $y = g (x)$ 图象上的点.

(1)、写出函数 $y = g (x)$ 的解析式；

(2)、把 $y = g (x)$ 的图象向左平移a个单位得到 $y = h (x)$ 的图象，函数 $F (x) = - {[a^{- h (x)}]}^{2} + 2 a^{- h (x)}$ ，是否存在实数 $m ， n (m < n)$ ，使函数 $F (x)$ 的定义域为 $(m ， n)$ ，值域为 $(m ， n)$ .如果存在，求出 $m 、 n$ 的值；如果不存在，说明理由；

(3)、若当 $x \in [a + 2 ， a + 3]$ 时，恒有 $| f (x) - g (x) | \leq 1$ ，试确定a的取值范围.

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28. 已知直线l： ${\begin{matrix} x = 1 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），曲线C₁： ${\begin{matrix} x = c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标压缩为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，得到曲线C₂ ，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

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29.
已知直线l：（t为参数），曲线C₁：（θ为参数）．

（Ⅰ）设l与C₁相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标压缩为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍，得到曲线C₂ ，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

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30. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 2 ， x \leq 0 ， \\ {log}_{a} x ， x > 0 ， \end{matrix}$ 且点（4，2）在函数f（x）的图象上.

(1)、求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；

(2)、求不等式f(x)<1的解集；

(3)、若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

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31. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数 $f (x)$ 的图像，并根据图像写出函数 $f (x)$ 的增区间；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的解析式和值域.

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32. 已知定义在区间 $[- π ， \frac{2}{3} π]$ 上的函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称，当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{2}{3} π]$ 时，函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ，其图象如图所示.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $[- π ， \frac{2}{3} π]$ 的表达式；

(2)、求方程 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 解的集合；

(3)、求不等式 $f (x) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集.

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33. 平面直角坐标系中，将曲线 ${\begin{matrix} x = 4 \cos α \\ y = \sin α \end{matrix}$ （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C₁ ．以坐标原点为极点，x的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线C₂的方程为ρ=4sinθ，求C₁和C₂公共弦的长度．

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34. 已知二次函数f（x）=x²﹣ax+3，且对任意的实数x都有f（4﹣x）=f（x）成立．

(1)、求实数a的值；

(2)、求函数f（x）在区间[0，3]上的值域；

(3)、要得到函数y=x²的图象只需要将二次函数y=f（x）的图象做怎样的变换得到．

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35. 已知函数f（x）=a^x^﹣^a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．

(1)、求实数a；

(2)、在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；

(3)、对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．

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36. 已知函数f（x）=log₂（x+1）．

(1)、将函数f（x）的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式；

(2)、若关于x的函数y=g²（x）﹣mg（x²）+3在[1，4]上的最小值为2，求m的值．

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