【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：二次函数在闭区间上的最值

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = \cos x - \cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A、奇函数，最大值为2 B、偶函数，最大值为2 C、奇函数，最大值为 $\frac{9}{8}$ D、偶函数，最大值为 $\frac{9}{8}$

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2. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 与直线 $l ： m x - y + m = 0 (m \in R)$ ，若在直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P A | = 2 | P B |$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] ∪ [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$

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3. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中，斜边 $B C = 4$ ， $M ， N$ 为线段BC上的动点，且 $M N = 1$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、4 D、6

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4. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 的最小值是1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是 $\frac{4}{5}$ C、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值是4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是5

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5. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x + c$ （ $x \in R$ ）的值域为 $[0 ， + ∞)$ ，则 $\frac{1}{c} + \frac{4}{a}$ 的最小值为（）

A、-4 B、4 C、8 D、-8

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6. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 2$ ，点 $P$ 在菱形 $A B C D$ 所在平面内，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot \vec{P C}$ 的最小值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、-3 C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{7}{4}$

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7. 已知点 $A$ 、 $B$ 在单位圆上， $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，若 $\vec{O C} = \vec{O A} + x \vec{O B} (x \in R)$ ，则 $| \vec{O C} |$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + ∞)$ B、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $c = 3$ ， $a s i n B = \sqrt{3}$ . $D$ ， $E$ 分别为线段 $A B$ ， $A C$ 上的动点， $\frac{A D}{A B} = \frac{C E}{C A}$ ，则 $D E$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{57}}{19}$ D、 $\frac{2 \sqrt{57}}{19}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ，有下述四个结论：
①若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ②若 $P$ 为 $B C$ 边上的一个动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 为定值2③若 $M$ ， $N$ 为 $B C$ 边上的两个动点，且 $M N = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$ ④已知 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，若 $B P = 1$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + \sqrt{3} μ$ 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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10. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} - 2^{x + 2} + m ， x \leq 0 \\ x + \frac{1}{x} ， x > 0 \end{array}$ 的最小值为2，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(- \infty ， 5]$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $[5 ， + \infty)$

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11. 已知点 $A$ 为圆 $C ： (x - m)^{2} + (y - m - 1)^{2} = 2$ 上一点，点 $B (3 ， 0)$ ，当m变化时，线段 $A B$ 长度的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

12. 如图，E，F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB，VC上的动点，且满足 $\overset{⇀}{E F} = 2 x \overset{⇀}{A V} + y \overset{⇀}{B C} (x > 0 ， y > 0)$ 则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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13. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $D E ⊥ A B$ 且交AB于点E ． $D F // A B$ 且交AC于点F ，则 $| 2 \vec{B E} + \vec{D F} |$ 的值为； $(\vec{D E} + \vec{D F}) \cdot \vec{D A}$ 的最小值为．

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{°} ， A B = 3$ ， $B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{B C} ， \vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2}$ ，则实数 $λ$ 的值为，若 $M ， N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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15. 已知点 $A ， B$ 是平面直角坐标系中关于 $y$ 轴对称的两点，且 $| \vec{O A} | = 2 a (a > 0)$ ．若存在 $m ， n \in R$ ，使得 $m \vec{A B} + \vec{O A}$ 与 $n \vec{A B} + \vec{O B}$ 垂直，且 $| (m \vec{A B} + \vec{O A}) - (n \vec{A B} + \vec{O B}) | = a$ ，则 $| A B |$ 的最小值为．

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16. 已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120 °$ ， P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 $P Q ⊥ B D$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值是．

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17. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点， $G ， F$ 分别为边 $A D ， B C$ 上的动点，且 $∠ F E G = \frac{2 π}{3}$ ，则 $G E + E F$ 的取值范围是．

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18. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ､ F$ 分别是棱 $B C ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点.且 $P C_{1}$ $/ /$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为.点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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19. 已知 $△ A B C$ ，点D满足 $\vec{B C} = \frac{3}{4} \vec{B D}$ ，点E为线段CD上异于C，D的动点，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ^{2} + μ^{2}$ 的取值范围是.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{6}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 4 5^{∘}$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内任意一点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的最小值是.

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21. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $∠ B A D = 6 0^{°}$ ， $\vec{A P} = λ \vec{A B}$ （ $λ > 0$ ）．当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{A C} \cdot \vec{P D} =$ ；当 $\vec{A P} \cdot \vec{D P}$ 取得最小值时， $λ =$ ．

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22. 已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长都为1，点 $E$ 在侧棱 $S C$ 上，过点 $E$ 且垂直于 $S C$ 的平面截该棱锥，得到截面多边形 $Γ$ ，则 $Γ$ 的边数至多为， $Γ$ 的面积的最大值为.

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23. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c ， a = 1 ， b \cos A + \cos B = 2 b$ ，则 $\frac{c}{b}$ = ， $△ A B C$ 的面积的最大值为．

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24. 在矩形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点P在AB边上，则向量 $\vec{C P}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量的长度是， $\vec{C P} \cdot \vec{P D}$ 的最大值是．

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三、解答题

25. 记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

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26. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形 $A B C D$ 的顶点在同一平面上，已知 $A B = B C = C D = 2 ， A D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、当 $B D$ 长度变化时， $\sqrt{3} c o s A - c o s C$ 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．

(2)、记 $△ A B D$ 与 $△ B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，请求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值．

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27. 一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $x$ （单位：千万元）对每件产品成本 $y$ （单位：元）的影响，对近 $10$ 年的年技术创新投入 $x_{i}$ 和每件产品成本 $y_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10)$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\bar{x} = 6.8$ ， $\bar{y} = 70$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}^{2}} = 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{y_{i}}{x_{i}} = 350$ .
参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ 、 $(u_{2} ， v_{2})$ 、 $⋯$ 、 $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图可知，可用函数模型 $y = \frac{b}{x} + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、已知该产品的年销售额 $m$ （单位：千万元）与每件产品成本 $y$ 的关系为 $m = - \frac{y^{2}}{500} + \frac{2 y}{25} + \frac{200}{y - 10} + 100$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $10$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）

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28. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为9，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等比数列．

(1)、求 $ \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}}$ 的值；

(2)、设数列 ${l o g_{3} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最大值，并指出 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的取值．

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29. 已知 $f (x) = | x - 1 | + | x - 3 |$ ．

(1)、求 $f (x) \leq 3$ 的解集；

(2)、已知 $a (x - 2)^{2} + 1 \geq f (x)$ 在 $[3 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数a的取值范围．

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30. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，证明：

(1)、 $3 a^{2} + b^{2} \geq 12$ ；

(2)、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{4}{b} \geq \frac{9}{5}$ ．

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31. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ． $P$ 为曲线 $C_{1}$ 上一动点，且 $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ ，点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{1 + s i n^{2} θ}$ ，点 $M$ 为曲线 $C_{3}$ 上一动点，求 $| M Q |$ 的最大值．

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32. 已知函数 $f (x) = | x - a | + 3 | x - 1 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 7$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in [2 ， 3]$ ，使得不等式 $f (x) ⩽ x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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33. 如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， D，E，F分别为 $A C$ ， $B C$ ， $B_{1} B$ 的中点， $C_{1} F ⊥ A_{1} B_{1}$ ， G为线段 $D E$ 上一动点.

(1)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A_{1} G - B_{1}$ 的余弦值的最大值.

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34. 已知函数 $f (x) = | x | + | a x - 1 | (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) > x^{2} + 1$ 的解集；

(2)、若 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) < x^{2} + 1$ ，求a的取值范围.

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35. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ．

(1)、若 $2 a + b = 1$ ，证明： $\frac{23}{48} \leq a + 3 b^{2} < 3$ ；

(2)、若 $2 a + b = a b$ ，证明： $4 a + b + a b \geq 10 + 4 \sqrt{6}$ ．

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