【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：二次函数的性质

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + b$ 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、[1，+∞） B、（-∞，1] C、[-1，+∞） D、（-∞，-1]

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2. 设a≠0，若x=a为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极大值点，则（）

A、a＜b B、a＞b C、ab＜a² D、ab＞a²

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3. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < - 2$ C、 $a \geq 0$ D、 $a < 0$

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $C$ 的左、右焦点， $B (0 ， 4 b)$ ，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的一支交于点 $P$ ，且 $\frac{| B P |}{| P F_{2} |} = λ (λ \geq 1)$ ，则 $C$ 的离心率最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x + | s i n x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是一个最小正周期为 $T = 2 π$ 的周期函数 B、 $f (x)$ 是一个偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $0$ ，最大值为 $\frac{5}{4}$

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6. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 ： 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0 ， 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5} ， 4 \sqrt{3}]$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为4 B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为2 C、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- 4$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- 2$

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8. 点M、N在圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 k x + 2 m y - 4 = 0$ 上，且M、N两点关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称，则圆C的半径（）

A、最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、最大值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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9. 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{15}$ C、4 D、5

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10. 已知 $a ， b \in [0 ， 2]$ ，则 $a^{2} - a + | b - a |$ 的最大值为（）

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 a x + 2 (a < 0)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) > l o g_{2} x$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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12. 设函数 $f (x) = | \cos x | + \cos 2 x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{2 π}{3}]$ 单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的值城为 $[- 1 ， 2]$

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二、填空题

13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{°} ， A B = 3$ ， $B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = λ \vec{B C} ， \vec{A D} \cdot \vec{A B} = - \frac{3}{2}$ ，则实数 $λ$ 的值为，若 $M ， N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为．

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14. 已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x²+y²的取值范围是．

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15. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ ，点P为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P向圆D： $x^{2} + y^{2} - 16 x + 48 = 0$ 作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为，此时直线AB的方程为．

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的表达式分别为 $f (x) = \sqrt{- x^{2} - 4 x}$ ， $g (x) = x | x^{2} - a |$ ，若对任意 $x_{1} \in [1 ， \sqrt{2}]$ ，若存在 $x_{2} \in [- 3 ， 0]$ ，使得 $g (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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17. 如图．在直角梯形 $A B C D$ 中． $A D ∥ B C ， ∠ A B C = 90 ° ， A D = 2 ， B C = 1$ ，点P是腰 $A B$ 上的动点，则 $| 2 \vec{P C} + \vec{P D} |$ 的最小值为．

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18. 已知正实数 $a ， b$ ，称 $v = \frac{a + b}{2}$ 为 $a ， b$ 的算术平均数， $u = \sqrt{a b}$ 为 $a ， b$ 的几何平均数， $H = \frac{2}{3} v + \frac{1}{3} u$ 为 $a ， b$ 的希罗平均数． $D$ 为 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上异于 $B ， C$ 的动点，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A D}$ 且 $\vec{A P} = \frac{a}{18} \vec{A B} + \frac{b}{18} \vec{A C}$ ，则正数 $a ， b$ 的希罗平均数 $H$ 的最大值是．

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19. 函数f（x）=x²-2（a-1）x+2在区间 $(- \infty ， 1]$ 上是减函数，则实数a的范围是

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20. 已知平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{e}$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $| \vec{e} | = 1$ ，若 ${\vec{a}}^{2} - 6 \vec{a} \cdot \vec{e} + 8 = 0$ ，则 $\vec{c} \cdot \vec{e} - \frac{1}{3} {\vec{c}}^{2}$ 的最大值是.

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21. 如图.在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， ∠ B C D = 6 0^{∘}$ ， $∠ A D C = 15 0^{∘} ， \vec{B E} = 3 \vec{E C} ， C D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， B E = \sqrt{3} ， B D =$ ；若点 $F$ 为边 $A D$ 上的动点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{B F}$ 的最小值为.

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22. 在△ABC中， $A B = A C = 3$ ， $\vec{A D} = 4 \vec{B D}$ ， $2 \vec{C E} = \vec{D A}$ ， $\vec{A E} \cdot \vec{C D} = - 8$ ，则 $c o s ∠ B A C =$ ，若动点F在线段AC上，则 $\vec{D F} \cdot \vec{E F}$ 的最小值为.

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23. 已知集合 $A_{0} = {x | 0 < x < 1}$ .给定一个函数 $y = f (x)$ ，定义集合 $A_{n} = {y | y = f (x) ， x \in A_{n - 1}}$ ，若 $A_{n} ∩ A_{n - 1} = ϕ$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，则称该函数 $y = f (x)$ 具有性质“ $φ$ ”

(1)、具有性质“ $φ$ ”的一个一次函数的解析式可以是；

(2)、给出下列函数：① $y = \frac{1}{x}$ ；② $y = x^{2} + 1$ ；③ $y = c o s (\frac{π}{2} x) + 2$ ，其中具有性质“ $φ$ ”的函数的序号是.

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24. 已知正数 $x ， y$ 满足 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{6}{x y} - \sqrt{2} ， z = (x + y) (\sqrt{12 - x^{2}} + \sqrt{12 - y^{2}})$ ，则 $z$ 的取值范围是.

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三、解答题

25. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{cases} x = \sqrt{3} \cos 2 t ， \\ y = 2 \sin t \end{cases}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) + m = 0$ ．

(1)、写出l的直角坐标方程；

(2)、若l与C有公共点，求m的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = m - | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 3$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象恒有公共点，求实数 $m$ 的取值范围.

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27. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = s i n θ + c o s θ \\ y = s i n 2 θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 方程为 $x - \sqrt{3} y = 2 \sqrt{3}$

(1)、写出 $l$ 的极坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)、点A为曲线C上一动点，点B为直线 $l$ 上一动点，求 $| A B |$ 的最小值.

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28. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x + 1} ， x \geq 0 \\ - l o g_{2} (- x) ， x < 0 \end{array}$ ．

(1)、若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{1 + 3 i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），求 $f (f (- | z |))$ 的值；

(2)、过点 $(0 ， \frac{5}{4})$ 的直线 $l$ 与 $f (x)$ 切于点 $(x_{0} ， f (x_{0})) (x_{0} > 0)$ ，求直线 $l$ 的斜率．

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29. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a = 4$ ， $c = 3 b$ ．

(1)、若 $c o s A = \frac{1}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若 $△ A B C$ 内切圆、外接圆的半径分别为r，R，求 $r \cdot R$ 的取值范围．

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30. 已知x，y为任意实数，有 $a = 2 x + y ， b = 2 x - y ， c = y - 1 .$

(1)、若 $4 x + y = 2 ，$ 求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(2)、求 $| a | ， | b | ， | c |$ 三个数中最大数的最小值．

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31. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，长半轴长为 $\sqrt{6}$ ，过焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ ， $| A B | = \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $m$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的一条切线，且直线 $m$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $M ， N$ ，求 $△ M O N$ 面积的最大值.

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32. 锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b \cos C = 2 a \sin A - \sqrt{3} c \cos B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = 2$ ，D为AB的中点，求CD的取值范围．

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33. 已知a，b为正实数．

(1)、证明： $2 a^{3} + a^{2} \leq 2 a^{4} + 1$ ；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} = 4 - 2 a b$ ，证明： $\frac{1}{a + 3 b} + \frac{2}{2 a + b} \geq \frac{9}{10}$ ．

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34. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F分别为 $B D$ 和 $B B_{1}$ 的中点，P为棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点．

(1)、是否存在点P使 $P E ⊥$ 平面 $E F C$ ？若存在，求出满足条件时 $C_{1} P$ 的长度并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $C_{1} P$ 为何值时，平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $P E F$ 所成锐二面角的正弦值最小．

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35. 山西运城王过酥梨是国家农产品地理标志保护产品，王过酥梨含有多种对人体有益的钙、铁、磷等微量营养元素，食后清火润肺，止咳化痰，能起到祛病养生之效，一致被人们作为逢年过节走亲访友，馈赠待客及日常生活的必备佳品.某水果批发商小李从事酥梨批发多年，他把去年年底客户采购酥梨在 $[100 ， 200]$ 内的数量x（单位：箱）绘制成下表：
采购数x（单位：箱）
$[100 ， 120)$
$[120 ， 140)$
$[140 ， 160)$
$[160 ， 180)$
$[180 ， 200]$
客户数
5
10
15
15
5

(1)、根据表中的数据，补充完整这些数据的频率分布直方图，并估计采购数在168箱以上（含168箱）的客户数；

(2)、若去年年底采购在 $[100 ， 200]$ 内的酥梨数量约占小李去年年底酥梨总销售量的 $\frac{4}{5}$ ，估算小李去年年底总销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、在（2）的条件下，由于酥梨受到人们的青睐，小李做了一份市场调查以决定今年年底是否在网上出售酥梨，若没有在网上出售酥梨，则按去年的价格出售，每箱利润为14元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售酥梨，则需把每箱售价下调1至5元（网上、网下均下调），且每下调m元 $(1 \leq m \leq 5 ， m \in Z)$ 销售量可增加 $950 m$ 箱，试预计小李在今年年底销售酥梨总利润Y（单位：元）的最大值.

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采购数x（单位：箱）	$[100 ， 120)$	$[120 ， 140)$	$[140 ， 160)$	$[160 ， 180)$	$[180 ， 200]$
客户数	5	10	15	15	5