【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：二次函数的图象

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + b$ 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、[1，+∞） B、（-∞，1] C、[-1，+∞） D、（-∞，-1]

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2. 设a≠0，若x=a为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极大值点，则（）

A、a＜b B、a＞b C、ab＜a² D、ab＞a²

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3. 已知曲线 $C$ 是平面内到定点 $F (0 ， 1)$ 和定直线 $l ： y = - 1$ 的距离之和等于4的点的轨迹，若 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在曲线 $C$ 上，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{13}$ C、曲线 $C$ 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点） D、点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 到点 $Q (1 ， - \frac{3}{2})$ 和点 $F (0 ， 1)$ 的距离之和最小为 $\frac{9}{2}$

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4. 设函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (\frac{7}{2}) = - \frac{3}{4}$ B、 $f (x + 7)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(6 ， 8)$ 上是减函数 D、方程 $f (x) + l g x = 0$ 仅有6个实数解

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5. 已知a、b是函数 $f (x) = (x - c) (d - x) + 1$ 的两个零点，若 $a < b$ ， $c < d$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < c < d < b$ C、 $c < d < a < b$ D、 $c < a < b < d$

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6. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ，其中 $a$ 为实数，则（）

A、函数 $f (x)$ 有两个不同零点0和 $a$ ； B、若对于任意两个不同的实数 $x_{1} ， x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} > 0$ ，则 $a = 0$ ； C、若 $f (x)$ 在[0，1]上单调递增，则 $a \leq 0$ 或 $a \geq 2$ ； D、若 $f (x) = 1$ 有三个不同的实数根，则 $a > 2$ .

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7. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = 1 n 3$ ，c= $\sqrt{3}$ ，则（）

A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、c<a<b

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ ， $x \in [1 ， 4]$ ，当 $x = a$ 时， $f (x)$ 取得最大值b，则函数 $g (x) = a^{| x + b |}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 定义 $min {a ， b} = {\begin{matrix} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{matrix}$ ，已知 $α ， β$ 为函数 $f (x) = x^{2} + p x + q$ 的两个零点，若存在整数n满足 $n < α < β < n + 1$ ，则 $min {f (n) ， f (n + 1)}$ 的值（）

A、一定大于 $\frac{1}{2}$ B、一定小于 $\frac{1}{2}$ C、一定等于 $\frac{1}{4}$ D、一定小于 $\frac{1}{4}$

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二、填空题

10. 已知向量 $\vec{a} = (x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， y - 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则点 $(x ， y)$ 的轨迹方程为；若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $4 x^{2} + y^{2}$ 的最小值为.

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11. 设 $M_{I}$ 表示函数 $f (x) = | x^{2} - 4 x + 2 |$ 在闭区间 $I$ 上的最大值．若正实数 $a$ 满足 $M_{[0 ， a]} \geq 2 M_{[a ， 2 a]}$ ，则 $M_{[0 ， a]} =$ ，正实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线 $C : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ 的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是.

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x ， x \leq 1 \\ a x + 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若∃x₁ ， x₂∈R，x₁≠x₂ ，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{- x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + 4 x, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ，若实数 $a < b < c$ ，且 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c$ 的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 ， x \geq 0 \\ - \frac{4}{3} x ， x < 0 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{1 - x^{2}} + | f (x) - \sqrt{1 - x^{2}} | - 2 a x + 4 a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 若二次函数 $f (x) = a x^{2} - x + b$ 的最小值为 $0$ ，则 $a + 4 b$ 的取值范围为．

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17. 已知点 $A (m - 1 ， y_{1})$ ， $B (m ， y_{2})$ ， $C (m + 1 ， y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 2 x$ 的图象上，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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18. 若直线 $y = m^{2} + 3 m - 3$ 与函数 $f (x) = | x | + 1$ 的图像有两个不同交点，则实数m的取值范围是．

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19. 函数 $y = \sqrt{k x^{2} - 2 k x + 4}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $k$ 的取值范围为．

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20. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - k x + k + 1$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上不单调，则实数k的取值范围是．

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三、解答题

21. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数）.

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = e^{x - a} - x l n x + (1 - a) x$ ， $a \in (1 ， 3 - l n 3]$ ，记 $g (x)$ 的极小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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22. 已知函数 $f (x) = m - | x - 1 | - | x + 1 |$ ．

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

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23. 已知函数f(x)＝|x+a|（a∈R）．

(1)、若f(x)≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；

(2)、若对任意x∈R，不等式f(x)+|x﹣2a|≥a²﹣4a恒成立，求实数a的取值范围．

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24. 在① $tan B = 2 tan C$ ，② $3 b^{2} - a^{2} = 12$ ，③ $b \cos C = 2 c \cos B$ 三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题：已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 及其对边 $a, b, c$ ，若 $c = 2$ ，且满足___________.求 $Δ A B C$ 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

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25. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ．

(1)、当 $a = 1, b = 2$ 时，若存在 $x_{1}, x_{2} \in [- 2, 0] (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $| f (x_{i}) | = 2 (i = 1, 2)$ ，求实数 $c$ 的取值范围；

(2)、若 $a, b, c$ 为正整数，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $- 1 < x_{1} < x_{2} < 1$ ，求 $a + b + c$ 的最小值．

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26. 已知函数 $f (x) = a (2 x - 1) | x + 1 | - 2 x - 1$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 求证：
① $\frac{1}{a} < x_{3} < \frac{1}{a} + \frac{1}{x_{3}}$

② $a (x_{2} - x_{1}) < 1$ .

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27. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 (a + 1) x - a + 3$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $g (x) = f (x) - (a - 1) x^{2} + a - 3$ 在 $(0 ， 3)$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上的最小值为-2，求实数 $a$ 的值.

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} (a - 2) x^{2} + (b - 8) x + c - 1 (x \in R)$ .

(1)、如果函数 $f (x)$ 为幂函数，试求实数a、b、c的值；

(2)、如果 $a > 0$ 、 $b > 0$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 3]$ 上单调递减，试求ab的最大值.

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29. 已知函数 $f (x) = | x | (x - a)$ .其中 $a \in R$ ，且 $a > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， 1]$ 上的最小值.

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30. 已知 $f (x) = x^{2} - 2 | x - m | + m ， m > 0$ .

(1)、若f(x)在[0，2]上单调，求实数m的取值范围；

(2)、若f(x)≤|mx－1|对x∈[0，4m]恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、若存在实数a，b，k满足f(a)=f(b)=k，且a<m<b.当m变化时，求a+b的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x$ ， $g (x) = 4 - | x - a |$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象的一个交点的横坐标为2，求a；

(2)、若 $a \geq \frac{9}{2}$ ，求证： $f (x) \geq g (x)$ .

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{- a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程；

(2)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求证：当 $a$ ≤ $- 1$ 时， $f (x)$ ≥ $- e$ .

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33. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $m f (x) \leq 2^{- x} + m - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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34. 已知向量 $a = (x^{2} ， x + 1 ， 1)$ ， $b = (2 - x ， t ， - x^{2})$ ，若函数 $f (x) = a \cdot b$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递增，求实数t的取值范围．

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35. 设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ .

(1)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点 $(x_{1} < x_{2})$ ，且 $f (x)$ 最小值为 $- a$ .
①求证： $x_{2} - x_{1} = 2$ ；

②当且仅当 $a$ 在什么范围内时，函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ 在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 上存在最小值?

(2)、若任意实数 $t$ ，在闭区间 $[t - 2 ， t + 2]$ 上总存在两实数m，n，使得 $| f (m) - f (n) | \geq 2021$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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