【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：一次函数的性质与图象

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知P₁（a₁ ， b₁）与P₂（a₂ ， b₂）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = 1 \\ a_{2} x + b_{2} y = 1 \end{matrix}$ 的解的情况是（）

A、无论k，P₁ ， P₂如何，总是无解 B、无论k，P₁ ， P₂如何，总有唯一解 C、存在k，P₁ ， P₂ ，使之恰有两解 D、存在k，P₁ ， P₂ ，使之有无穷多解

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2. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - (a + 4) x + 5 ， & x < 2 \\ (2 a - 3) x ， & x \geq 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2})$ B、 $[0 ， \frac{3}{2})$ C、 $(0 ， \frac{7}{6}]$ D、 $[0 ， \frac{7}{6}]$

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3. 下列函数值中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上不是单调函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x + \sqrt{x}$ D、 $y = | x - 1 |$

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4. $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的函数，且 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in (- 1 ， 1] \\ 1 - | x - 2 | ， x \in (1 ， 3] \end{array}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f$ $(x)$ 的值域为 $[0 ， 2]$ B、当 $x \in (3 ， 5]$ 时， $f (x) = 2 \sqrt{- x^{2} + 8 x - 15}$ C、 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 4 k ， k \in Z$ D、方程 $3 f (x) = x$ 恰有5个实数解

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5. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {k \in A | y = k x 在 R 上为增函数}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | {log}_{2} (1 - x) | ， x < 1 ， \\ - x^{2} + 4 x + 2 ， x \geq 1 ， \end{matrix}$ 现有如下说法：
①函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(0 ， 1)$ 和 $(1 ， 2)$ ；
②不等式 $f (x) > 2$ 的解集为 $(- \infty ， - 3) \cup (\frac{3}{4} ， 4)$ ；
③函数 $y = f (x + \frac{1}{x} - 2) - 1$ 有6个零点．
则上述说法中，正确结论的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x + 4)^{2} ， - 5 \leq x < - 3 \\ f (x - 2) ， x \geq - 3 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - | k (x + 1) |$ 有9个零点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{4} ， - \frac{1}{6}) ∪ (\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{5}) ∪ (\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{6} ， \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{5} ， \frac{1}{3})$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{3}{2}) \\ 2 - f (x - \frac{3}{2}) ， x \in [\frac{3}{2} ， + ∞) \end{array}$ ，则 $f (x) > | l o g_{2} x |$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1) ∪ (1 ， 2)$

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9. 已知函数 $f (x) = e x + π$ ， $g (x) = (\frac{π}{e})^{x} (e$ 为自然对数的底数 $)$ ，则（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > g (x)$ B、 $\exists x_{0} \in (\frac{e}{π} ， e π)$ ，当 $x = x_{0}$ 时， $f (x) = g (x)$ C、 $\forall x \in (\frac{e}{π} ， e π)$ ， $f (x) < g (x)$ D、 $\exists x_{0} \in (e^{2 π} ， + \infty)$ ，当 $x > x_{0}$ 时， $f (x) < g (x)$

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10. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 4 a ， x \leq 1 \\ l o g_{a} x ， x > 1 ， \end{array}$ 在R上是减函数，那么a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{6} ， \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{6} ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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11. 在平面直角坐标系中同时作出函数 $y = x + a$ 和 $y = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象，可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

12. 《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．

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13. 设集合 $M = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \in R}$ ， $N = {y | y = (\frac{1}{m - 1} + 1) (x - 1) + (| m | - 1) (x - 2) ， 1 \leq x \leq 2}$ ，若 $N \subseteq M$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{x}{1 + a x^{2}} ， g (x) = x + a$ ，若对任意 $x_{1} \in [- 2 a ， 2 a]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 2 a ， 2 a]$ ，使得 $f (x_{2}) \leq g (x_{1})$ ，则a的最大值为.

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15. 若关于 $x$ 的不等式 $(e^{x} - a - 1) (x + a + b) \leq 0$ 在 $(a ， b)$ 上恒成立，则 $a + 2 b$ 的最大值是．

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 b - 1) x + b - 1, x > 0 \\ - x^{2} + (2 - b) x, x \leq 0 \end{array}$ 在R上为增函数，则实数b的取值范围为.

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17. 若x＞0，则x+ $\frac{2}{x}$ 的最小值为．

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18. 设函数f（x）=（2a﹣1）x+b是R上的减函数，则a的范围为

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19. 图①是某公交车线路的收支差额(票价总收入减去运营成本)与乘客量x的函数图象.目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是.

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (1 - 2 a) x + a ， x \leq 3 \\ 2^{x - 3} ， x > 3 \end{array}$ ，若单调递增数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (n)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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21. 设关于 $x$ 的函数 $y = (k - 2) x + 1$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题

22. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 1 |$

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \leq a x + b$ ，求 $a + b$ 的最小值。

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23. 某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：

产品类别	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价格	每年最多可生产的件数
A	20万元	m万元	10万元	200件
B	40万元	8万元	18万元	120件

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且 $m \in [6 ， 8]$ .另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交 $0.05 x^{2}$ 万元的附加税.假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产.

(1)、求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润

y_{1}

，

y_{2}

（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域：

(2)、分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润?

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24. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，满足下列条件：① $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2}) - 2$ ② $f (2) = 4$

(1)、是否存在一次函数 $f (x)$ 满足条件①②，若存在，求出 $f (x)$ 的解析式；若不存在，说明理由.

(2)、证明： $g (x) = f (x) - 2$ 为奇函数；

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25. 2020年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎.今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司.该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为20000元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入80元，已知每月生产 $x$ 台的总收益满足函数 $R (x) = {\begin{array}{l} 480 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 500 \\ 115000 ， x > 500 \end{array}$ ，其中 $x$ 是仪器的月产量.

(1)、将月利润 $f (x)$ 表示为月产量的 $x$ 的函数；（总收益=总成本+利润）

(2)、当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？

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26. 某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：
x
30
40
45
50
y
60
30
15
0

(1)、在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x ， y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式；

(2)、设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？

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27. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + b$ 的最小值为0，不等式 $f (x) < 4$ 的解集为 $A$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、设集合 $B = {x | | x - 2 | < a}$ ，若集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集，求 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 - x^{2} ， (x > 0) \\ 2 ， (x = 0) \\ 1 - 2 x ， (x < 0) \end{array}$ 求：

(1)、画出函数 $f (x)$ 的简图（不必列表）；

(2)、求 $f (f (3))$ 的值；

(3)、当 $- 4 \leq x < 3$ 时，求 $f (x)$ 取值的集合．

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29. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \\ - 2 x + 4 ， x > 0 \end{array}$

(1)、在下图所示的平面直角坐标系中，做出函数 $y = f (x)$ 的图像，并根据图像写出该函数的单调区间与值域（无需证明）；

(2)、若 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，且 $a ， b ， c$ 互不相等，求 $a + b + c$ 的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x - 1 & ， x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x & ， x > 0 \end{array}$

(1)、画出 $f (x)$ 的图象，直接写出方程 $f (x) = 1$ 的解集；

(2)、若方程 $f (x) = t$ 至少有两个不等的根，直接写出t的取值范围；

(3)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最大值，

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31. 已知 $f (x)$ 为二次函数，图象的顶点坐标为 $(2 ， - 1)$ ．

(1)、若 $f (0) = 3$ ，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 x$ 的值域为 $[- 7 ， + \infty)$ ，求 $g (x)$ 的单调递增区间．

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32. 已知 $b$ 是实数，函数 $f (x) = (x^{2} + b x) l n x$ ．
（Ⅰ）当 $b = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；
（Ⅱ）若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $b$ 的值．

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