【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的值2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{x} ， 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1) ， x \geq 1 \end{matrix}$ 若f（a）=f（a+1），则f（ $\frac{1}{a}$ ）=（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 函数y= $\frac{s i n 2 x}{1 - c o s x}$ 的部分图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{6}{e^{x} + 1} + \frac{m x}{| x | + 1} (m \in R 且 m \neq 0)$ ，（e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828$ ），则 $f (- 2022) + f (2022) =$ （）

A、3 B、6 C、3e D、与实数m的取值有关

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4. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (f (x) - l o g_{2} x) = 20$ ．现已知 $f (a) = f^{'} (a) + 17$ ，那么（）

A、 $a \in (1 ， 1.5)$ B、 $a \in (1.5 ， 2)$ C、 $a \in (2 ， 2.5)$ D、 $a \in (2.5 ， 3)$

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5. 已知 $t \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x} - 2 ， x > 2 \\ | x - 3 | + t ， x \leq 2 \end{array}$ ，若 $f (f (9)) = 4$ ，则 $t =$ （）

A、0 B、2 C、5 D、6

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6. 若函数f(x)满足f（2x）＝x，则f（5）＝（）

A、2⁵ B、5² C、log₅2 D、log₂5

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7. 已知 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - l o g_{2} (a x)$ ，若 $f (- 4) = 3$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、1

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (x + 3)$ 为偶函数，当 $x \in [2 ， 3]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (1) + f (4) = 5$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \leq 0 \\ s i n \frac{π x}{2} ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 成中心对称，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x^{2} + m x + n$ ，若 $f (- 1) = - 7$ ，则 $3 m + n =$ （）

A、7 B、2 C、-2 D、 $- \frac{1}{2}$

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11. 一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式： $T - T_{a} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}} (T_{0} - T_{a})$ ，其中 $T_{a}$ 是环境温度， $T_{0}$ 为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（）（ $l g 2 \approx 0.3010 ， l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、11.3 B、13.2 C、15.6 D、17.1

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， x \geq 1 \\ x^{2} - 1 ， x < 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

13. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒。为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元。每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为。

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14. 已知函数f(x)=log₂(x²+a).若f(3)=1，则a=.

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15. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ ，则满足f（x）+f（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）＞1的x的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} ， x \leq 0 \\ l o g_{3} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + a x + b)}{x^{2}}$ ，对任意非零实数x，均满足 $f (x) = f (- \frac{1}{x})$ .则 $f (- 1)$ 的值为；函数 $f (x)$ 的最小值为.

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18. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， (x < 1) ， \\ f (x - 4) ， (x \geq 1) ， \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ .

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19. 已知函数 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x + a$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $a =$ .

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20. 已知函数 $f (x) = - x^{2} - 2 x + 3$ ，则 $f (x + 1) =$ ．

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21. 若 $f (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$ ，则 $f (2) =$ .

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22. 若函数 $f (x) = l o g_{2} (x + m) + 2$ 的反函数的图象经过点 $(3 ， 1)$ ，则 $f (3) =$ .

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23. 函数 $f (x) = \sqrt{x} + 1$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，则 $f^{- 1} (3) =$ .

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24. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{} {_{}}_{}_{} x \leq 0 \\ f (x - 1) - f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2021) =$ .

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25. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 单调递增，且对 $\forall x \in R$ ，有 $f (f (x) - 2^{x}) = 3$ ，则 $f (\log_{4} 3) =$ .

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $\cos 2 φ + \cos φ = 0$ .

(1)、求 $ω$ 和 $f (\frac{π}{2})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{3}{5} (0 < α < π)$ ，求 $\sin α$ ．

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27. 若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁ ，在其定义域均存在唯一的x₂ ，满足f（x₁）f（x₂）=1，则称该函数为“依赖函数”．

(1)、判断 $y = \frac{1}{x^{2}}$ ，y=2^x是否为“依赖函数”；

(2)、若函数y=a+sinx（a＞1）， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 为依赖函数，求a的值，并给出证明．

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28. 设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|
（I）画出函数y=f（x）的图象；
（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = c o s (\frac{π}{2} - 2 ω x) - 2 \sqrt{3} c o s^{2} ω x + \sqrt{3} (0 < ω < 4)$

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{2}{3}$ ，且 $x_{0} \in (\frac{5}{12} π ， \frac{2}{3} π)$ ，再从下面①②③中选取一个作为条件，求 $f (x_{0} + \frac{π}{12})$ 的值．①函数的一个对称中心为 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ；②函数图象过点 $(- \frac{π}{12} ， - 2)$ ；③两条相邻对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + (s i n x + c o s x - 1) | s i n x + c o s x - 2 a |$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{0}) = \frac{3}{4}$ ，求 $s i n 2 x_{0}$ 的值；

(2)、记 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式并求出 $g (a)$ 的最小值.

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31. 已知 $f (x) = a x^{2} + l n x + 2$ ，且 $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x) = a x^{2} + l n x + 2$ 在 $x = 1$ 处的切线方程．

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32. 已知函数 $f (x)$ 的图象在定义域 $(0 ， + \infty)$ 上连续不断.若存在常数 $T > 0$ ，使得对于任意的 $x > 0$ ， $f (T x) = f (x) + T$ 恒成立，称函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T)$ .

(1)、若 $f (x)$ 满足性质 $P (2)$ ，且 $f (1) = 0$ ，求 $f (4) + f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (x) = l o g_{1.2} x$ ，试说明至少存在两个不等的正数 $T_{1} ， T_{2}$ ，同时使得函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T_{1})$ 和 $P (T_{2})$ .（参考数据： $1 . 2^{4} = 2.0736$ ）

(3)、若函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T)$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在零点.

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33. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且对 $\forall x$ ， $y > 0$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ．

(1)、求 $f (1)$ ，并证明： $f (x) - f (y) = f (\frac{x}{y})$ ；

(2)、若当 $x > 1$ ，有 $f (x) > 0$ ，给出两个论断：①当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ ；② $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；请选择其中一个证明．

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34. 已知函数 $f (x) = a^{x} + a^{- x} (a > 1)$ 的定义域为 $[0 ， + ∞)$ ，其图象过点 $(1 ， \frac{5}{2})$ ， $g (x) = f (2 x) + 2 f (x)$ ．

(1)、若 $m l o g_{3} 4 = 1$ ，求 $f (m)$ 的值．

(2)、是否存在实数 $m$ ，使得 $m - 2 f (x) > g (x)$ 有解？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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35. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s x$ ，且 $f (α) = - \frac{1}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ .

(1)、求 $f (- α)$ 的值；

(2)、若 $c o s (α - β) = \frac{1}{3}$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求 $c o s β$ .

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36. 已知函数 $f (x)$ 对一切实数 $x ， y \in R$ 都有 $f (x + y) - f (y) = x (x + 2 y - 2)$ 成立，且 $f (1) = 0$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值和 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (| a^{x} - 2 |) - 3 k | a^{x} - 2 | + 2 k = 0 (a > 1)$ 有三个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围.

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