【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的值1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = (3^{x} - 3^{- x}) \cos x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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3. 设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (0) + f (3) = 6$ ,则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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4. 给出定义：设 $f^{^{'}} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{^{'}} (x)$ 的导函数.若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心.若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + f (\frac{3}{2023}) + ⋯ + f (\frac{4044}{2023}) + f (\frac{4045}{2023}) =$ （）

A、-8080 B、-8090 C、-8092 D、-8096

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x} ， x \leq 1 \\ l o g_{3} x ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (2)) =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、- $\frac{1}{2}$

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6. 欧拉函数 $φ (n) (n \in N^{*})$ 的函数值等于所有不超过正整数 $n$ ，且与 $n$ 互素（也称互质）的正整数的个数，例如 $φ (1) = 1$ ， $φ (4) = 2$ ， $φ (9) = 6$ ．则（）

A、数列 ${φ (n)}$ 单调 B、 $φ (5) < φ (6)$ C、数列 ${φ (2^{n})}$ 是等比数列 D、 $φ (6) = φ (2) + φ (3)$

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7. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $T$ ．若 $π < T < 2 π$ ，且 $y = f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $2 < ω < 3$ ；
② $f (\frac{π}{2}) = 0$ ；
③ $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递增；
④为了得到 $g (x) = s i n ω x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 是奇函数， $f (2 x + 1)$ 是偶函数，则一定有（）

A、 $f (4) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (3) = 0$ D、 $f (5) = 0$

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (- x + 4) ， x < 2 \\ 2^{x} ， x > 2 \end{array}$ ，则 $f (- 4) + f (l o g_{2} 5) =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 如图为函数 $f (x) = x^{α} \cdot s i n x ， (α \in R)$ 的部分图象，则 $α$ 的值可能是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} x + a ， & x < 0 \\ b x - 1 ， & x > 0 \end{array}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1 ， b = - 1$ B、 $a = - 1 ， b = 1$ C、 $a = 1 ， b = 1$ D、 $a = - 1 ， b = - 1$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x + l n 2} ， x \leq 2 \\ f (x - 4) ， x > 2 \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ （）

A、 $\frac{2}{e}$ B、 $2 e$ C、 $\frac{2}{e^{2}}$ D、 $2 e^{2}$

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13. 函数 $f (x)$ 满足 $a > 0$ ， $b > 0$ ，函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ 的一个零点也是其本身的极值点，则 $f (x)$ 可能的表达式有（）

A、 $a x^{3} + b x + 1$ B、 $a x - b l n x$ C、 $a s i n x + b c o s x + 1$ D、 $a x^{2} + b x + 1$

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二、填空题

14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{2} 3) =$ .

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15. 若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) + x g (x) = x^{2} - 1$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f^{'} (1) + g^{'} (1) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x ， x \leq 0 \\ l o g_{4} x ， x > 0 \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{4})) =$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 + l o g_{2} (2 - x) ， x < 1 \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ .

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 2 | ， x \geq 0 \\ x + 2 ， x < 0 \end{array}$ ，则 $f [f (- 2)] =$ ；若 $f (m) = f (m + 2)$ ，且 $m > 0$ ，则 $m =$ ．

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19. 若函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$ 是偶函数，则 $f (1) =$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = l n x$ ，若 $f (a b) = 1$ ，则 $f (a^{4}) + f (b^{4}) =$ .

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21. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{3} x - 2 ， x > 0 \\ 2^{x + 3} ， x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ ．

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22. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x \leq 0 \\ 3 ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ ，不等式 $f (x) > 2$ 的解集是．

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23. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \leq 0 \\ f (x - 5) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (2022) =$ .

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三、解答题

24. 已知函数 $f (x) = | x - a | - \frac{1}{x} + a ， a \in R$ .

(1)、若f（1）=2，求a的值；

(2)、若存在两个不相等的正实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
① $2 < x_{1} + x_{2} < 2 a$ ；

② $\frac{x_{2}}{x_{1}} < a^{2} + 1$ .

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25. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (2 x + \frac{π}{6}) ， x \in R$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期.

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26. 某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表：
月份x
1
2
3
4
5
月平均销售价格（单位：元/千克）
12
10.5
10
8.5
9
参考公式： $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为 $\hat{y} = b x + 12.4$ ，求 $\hat{b}$ 的值；

(2)、请根据（1）预测6月份该农副产品的月平均销售价格；

(3)、求该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差.

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27. 某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用 $t = 1$ ，2，…，8表示)的接种人数 $y$ (单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：

参考数据： $\bar{y} = 12.25$ ， $\sum_{i = 1}^{8} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 42$ ， $\sum_{i = 1}^{8} (y_{i} - \bar{y}) (t_{i} - \bar{t}) = 70$ .参考公式：对于一组数据 $(t_{1} ， y_{1})$ ， $(t_{2} ， y_{2})$ ，…， $(t_{n} ， y_{n})$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{8} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{8} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} t$ .

(1)、由散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，求 $y$ 关于 $t$ 的回归方程(系数精确到0.01)；

(2)、根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.

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28. 如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期､指数期､稳定期和衰亡期四个时期.在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量(达到稳定期时的细菌数量)与培养基质量具有线性相关关系.某实验室在培养细菌 $A$ 的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：

培养基质量x(克)

20

40

50

60

80

细菌A的最大承载量Y(单位)

300

400

500

600

700

参考数据： $2^{10} = 1024$ ， $2^{11} = 2048$ ， $2^{12} = 4096$ ， $2^{13} = 8192$ .参考公式：回归方程 $\hat{Y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} Y_{i} - n \bar{x} \bar{Y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{Y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、建立Y关于x的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量；

(2)、研究发现，细菌 $A$ 的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量 $y$ (单位)与细菌 $A$ 被植入培养基的时间 $t$ 近似满足函数关系 $y = 0.8 \times 2^{t - 3} + 20$ ，试估计在100克培养基上培养细菌 $A$ 时指数期的持续时间(精确到1小时).

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29. 物理学中常用“伏安法”测量电阻值（单位：欧姆），现用仪器测量某一定值电阻在不同电压下的电流值测得一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ ，其中， $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第i次测量数据的电流（单位：安培）和电压（单位：伏特），计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 2.4, \sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 12, \sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 3.196, \sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 0.6432$ ．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、用最小二乘法求出回归直线方程（ $\hat{b}$ 与 $\hat{a}$ 精确到0.01）；

(2)、由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，请用计算得到的数据说明电阻的估计值．

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30. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = lg (x + \frac{1}{x})$

(1)、求 $f (- 1)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (2 - 2 x) < f (x + 3)$ ；

(3)、若关于x的方程 $f (x) = lg (\frac{a}{x} + 2 a)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，且图象上相邻两个对称中心的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $x_{1}, x_{2} \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求 $f (x_{1} + x_{2})$ 的值.

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32. 已知：①函数 $f (x) = \cos ω x \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{4} (ω > 0)$ ；
②向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin ω x, \cos 2 ω x)$ ， $\vec{n} = (\frac{1}{2} \cos ω x, \frac{1}{4})$ ，且 $ω > 0$ ， $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ；

③函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})$

请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_________________，且函数 $f (x)$ 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、若 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，且 $\sin θ = \frac{1}{2}$ ，求 $f (θ)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上的单调递减区间.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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33. 已知函数 $f (x) = 2 c o s \frac{x}{2} (\sqrt{3} c o s \frac{x}{2} - s i n \frac{x}{2})$ ．

(1)、设θ∈[0，π]，且f（θ） $= \sqrt{3} +$ 1，求θ的值；

(2)、在△ABC中，AB＝1，f（C） $= \sqrt{3} +$ 1，且△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求sinA+sinB的值．

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34. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sqrt{3}$ ，（ $x \in R$ ）．

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间及 $f (x)$ 图象的对称轴方程．

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35. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、若 $θ$ 满足 $f (\frac{θ}{2}) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (θ + \frac{π}{4})$ 的值

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月份x	1	2	3	4	5
月平均销售价格（单位：元/千克）	12	10.5	10	8.5	9

培养基质量x(克)	20	40	50	60	80
细菌A的最大承载量Y(单位)	300	400	500	600	700