【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数恒成立问题2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知a，b∈R且ab≠0，若（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0在x≥0上恒成立，则（）

A、a＜0 B、a＞0 C、b＜0 D、b＞0

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2. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + 2 a, & x ⩽ 1, \\ x - a \ln x, & x > 1, \end{array}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f (x) ⩾ 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, e]$ D、 $[1, e]$

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3. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} x^{2} - x + 3 ， x \leq 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥| $\frac{x}{2}$ +a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A、[﹣ $\frac{47}{16}$ ，2] B、[﹣ $\frac{47}{16}$ ， $\frac{39}{16}$ ] C、[﹣2 $\sqrt{3}$ ，2] D、[﹣2 $\sqrt{3}$ ， $\frac{39}{16}$ ]

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4. 已知 $b > 0$ ， $e^{a} - \frac{a}{b} e \leq \frac{e l n b}{b}$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A、若 $b \in (0 ， e)$ ，则 $a \in (0 ， + \infty)$ B、 $a = l n b - 1$ C、 $a + b \geq 2$ 恒成立 D、 $\frac{1 - a}{b^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2 e}$

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5. 已知 $a <0$ ，若 $x > 1$ 时， $e^{- x} - \ln e^{- x} \geq x^{a} - \ln x^{a}$ 恒成立，则 $a$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、 $- e$ D、 $- 2 e$

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6. 已知 $a = e^{0.618} - 1$ ， $b = l n 1.618$ ， $c = t a n 0.618$ ，其中e为自然对数的底数，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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7. 对于函数 $f (x)$ ，若对任意的 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in R$ ， $f (x_{1})$ ， $f (x_{2})$ ， $f (x_{3})$ 为某一三角形的三边长，则称 $f (x)$ 为“可构成三角形的函数”，已知 $f (x) = \frac{x^{2} + t}{x^{2} + 1}$ 是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(0 ， + ∞)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 4^{n} + λ {(- 2)}^{n + 1}$ ．若对 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ 成立，则整数 $λ$ 的值可能是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是各项为正数的等比数列，公比为q，在 $a_{1} ， a_{2}$ 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为 $d_{1}$ ，在 $a_{2} ， a_{3}$ 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为 $d_{2} ， ⋯$ ，在 $a_{n} ， a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数成等差数列，公差为 $d_{n}$ ，则（）

A、当 $0 < q < 1$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递减 B、当 $q > 1$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递增 C、当 $d_{1} > d_{2}$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递减 D、当 $d_{1} < d_{2}$ 时，数列 ${d_{n}}$ 单调递增

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10. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x$ 存在最大值0，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、1 D、 $e$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - \frac{1}{4} s i n π x$ ．若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = l n (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) + x^{3}$ ， $g (x) = f (x + 1)$ ．若实数a，b(a，b均大于1)满足 $g (3 b - 2 a) + g (- 2 - a) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在R上单调递增 B、函数 $g (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 中心对称 C、 $e^{a - b} > \frac{b}{a}$ D、 $l o g_{a} (a + 1) > l o g_{b} (b + 1)$

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13. 已知函数 $f (x) = x e^{x - 1} - 1$ ， $g (x) = x + a + \ln x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- \infty ， - 0]$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $(- \infty ， e]$

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二、填空题

14. 已知a∈R，函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2 x + a - 2 ， x \leq 0 ， \\ - x^{2} + 2 x - 2 a ， x > 0 ． \end{cases}$ 若对任意x∈［–3，+ $\infty$ ），f(x)≤ $| x |$ 恒成立，则a的取值范围是．

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15. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) + x (\frac{1}{e^{x}} + e^{x}) = 0$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上有 $f^{'} (x) > \frac{1}{e^{2}}$ 成立.若实数 $a$ 满足 $f (1 - a) - f (a) + e^{a - 1} - a e^{a - 1} - a e^{- a} \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知不等式 $a \ln x^{2} - \frac{1}{x} + e^{\frac{1}{x}} \geq x^{2 a}$ 对任意 $x \in (0 ， 1)$ 恒成立，则实数a的最小值为．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} = 2 (n \geq 2)$ ，且 $a_{1} \neq a_{2}$ ， $a_{5} = \frac{1}{9} ， a_{11} = \frac{1}{21}$ ，则该数列的首项 $a_{1} =$ ；若数列 ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项的为 $S_{n}$ ，且对 $\forall n \in N *$ 都有 $t > S_{n}$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为．

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18. 已知函数 $f (x) = x + l n (x - 1) ， g (x) = x l n x$ ，若 $f (x_{1}) = 1 + 2 l n t ， g (x_{2}) = t^{2}$ ，则 $\frac{l n t}{x_{1} x_{2} - x_{2}}$ 的最大值为．

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19. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 $F_{n} = {(2)}^{2^{n}} + 1 (n \in N^{*})$ 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出. $F_{5} = 641 \times 6700417 ，$ 也就是说 $F_{5}$ 不是质数，这个猜想不成立．设 $a_{n} = l o g_{4} (F_{n} - 1) (n \in N^{*}) ， S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 前n项和，若 $2 m \leq S_{n}$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则m的最大值是．

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20. 已知e是自然对数的底数．若 $\exists x \in [1 ， + \infty)$ ，使 $m e^{m x} - 6 x^{5} l n x ≤ 0$ ，则实数m的取值范围为．

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21. 若不等式 $| x - a | - 2 l n x \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是.

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22. 若 $e^{x + 1} - \frac{l n x + 2 k}{x} - k \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则实数k的取值范围是.

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23. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- 2 x} - 1 ， x < 0 \\ l n (x + 1) ， x \geq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - k x = 0$ 有两个不同的实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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24. 若 $\forall x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $x l o g_{2} x + 2 x^{2} - a x < 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

25. 设函数f（x）=（1﹣x²）e^x ．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + 2 l n x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) - x$ 的零点；

(2)、证明：对于任意的正实数k，存在 $x_{0} > 0$ ，当 $x \in (x_{0} ， + \infty)$ 时，恒有 $k \sqrt{x} > f (x)$ .

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27. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ ， $g (x) = l n x$ ．

(1)、若 $0 < a \leq \frac{e}{2}$ ，求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数；

(2)、若存在 $a$ ，使得 $f (x) > g (x) + b$ 对于任意的 $x > 0$ 成立，求最大的整数 $b$ 的值．

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28. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + | x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、 $\forall x \in [0 ， 2]$ ， $f (x) \geq a | 2 x + 1 |$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + a}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $g (n) = \frac{1}{2 e^{n} - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $g (1) + g (2) + \cdot \cdot \cdot + g (n) < \frac{3}{4}$ ．

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30. 已知函数 $f (x) = x e^{x + 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq (a + 1) x + l n x + 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ ， $g (x) = x - c o s x$ ．

(1)、对任意的 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ， $t f (x) - g^{'} (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设方程 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $(2 n π + \frac{π}{3} ， 2 n π + \frac{π}{2}) (n \in N^{*})$ 内的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …，求证： $x_{n + 1} - x_{n} > 2 π$ ．

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32. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x c o s x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程；

(2)、对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) < a x^{2} + a x$ ，求a的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{8}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = 0$ ，求a的值；

(2)、若 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \geq 2$ ，求a的取值范围．

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34. 已知函数 $f (x) = x (l n x - \frac{1}{2} x - 1)$ ， $h (x) = (a - 3) x + (1 - a + x) l n x - 1$ .

(1)、 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求 $F (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = h (x) - f (x)$ 恰有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{l n x}{x} - 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $x_{1} e^{x_{1}} + 2 x_{2} e^{x_{2}} > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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