【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数恒成立问题1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若 $\log_{2} (2^{x} - 1) - x < \log_{2} (λ \cdot 2^{x} + 3 λ)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{9} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{1}{5} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{1}{5})$

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2. 已知 $p ： 0 \leq a \leq 2$ ， q：任意 $x \in R ， a x^{2} - a x + 1 \geq 0$ ，则p是q成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ ，且 $f (x)$ 为 $- x^{3} + (a + 1) x^{2} - (a + 3) x + 3$ 与 $| x | l n | x |$ 中较大的数， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， 4]$ B、 $[- 2 \sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[\frac{1 - \sqrt{33}}{2} ， \frac{1 + \sqrt{33}}{2}]$

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4. 设函数 $f (x) = (x + 2 s i n x) (2^{- x} + 1) ， x \in (0 ， + \infty)$ ，则（）

A、函数 $g (x) = f (x) - x$ 有且仅有一个零点 B、对 $\forall a < 0$ ， $\forall b > 0$ ，函数 $g (x) = f (x) - a x - b$ 有且仅有一个零点 C、 $\exists m \in R$ ， $| f (x) - 2 x | \leq m$ 恒成立 D、 $\exists a ， b ， m \in R$ ， $| f (x) - a x - b | \leq m$ 恒成立

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5. 若存在 $x_{0} \in [- 1 ， 2]$ ，使不等式 $x_{0} + (e^{2} - 1) l n a \geq \frac{2 a}{e^{x_{0}}} + e^{2} x_{0} - 2$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e} ， e^{2}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}} ， e^{2}]$ C、 $[\frac{1}{e^{2}} ， e^{4}]$ D、 $[\frac{1}{e} ， e^{4}]$

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6. 若不等式 $t e^{t x} - (1 - \frac{1}{x}) l n (x - 1) \geq 0$ 对任意 $x \in [2 e + 1 ， + ∞)$ 恒成立，则正实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{l n 2}{2 e + 1} ， + ∞)$ B、 $[\frac{l n 2 + 1}{2 e + 1} ， + ∞)$ C、 $(0 ， \frac{l n 2 + 1}{2 e + 1})$ D、 $[\frac{l n 2}{2 e + 1} ， \frac{l n 2 + 1}{2 e + 1}]$

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7. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a b \neq 0$ ，对任意 $x > 0$ 均有 $(l n x - a) (x - b) (x - a - b) \geq 0$ ，则（）

A、 $a < 0$ ， $b < 0$ B、 $a < 0$ ， $b > 0$ C、 $a > 0$ ， $b < 0$ D、 $a > 0$ ， $b > 0$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则（）

A、函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $y = f^{'} (x)$ 有唯一极小值 C、函数 $y = f (x) - x$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上有且只有一个零点 $t$ ，且 $t \in (- \frac{1}{2} ， 0)$ D、对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{1} + x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立

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9. 若不等式 $(- 1)^{n} n a < n + (- 1)^{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$

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10. 已知 $l n x - e^{x} \leq λ x - l n (1 - λ) ， x \in (0 ， + ∞)$ 恒成立，则λ的取值范围是（）

A、 $[1 - e ， + \infty)$ B、 $[1 - e ， 1)$ C、 $[e - 2 ， 1)$ D、 $[0 ， 1)$

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11. 圆 $O$ 为锐角 $△ A B C$ 的外接圆， $A C = 2 A B = 2$ ，点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A O}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[0 ， 4)$

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二、填空题

12. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{3 e^{x}}{1 + e^{x}}$ ，则 $f (x) + f (- x) =$ ；若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (4 - a x) + f (x^{2}) \geq 3$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = a n^{2} + n$ ，若满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$ 且对任意 $n \in [9 ， + \infty)$ ，都有 $a_{n} > a_{n + 1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15. 若对任意 $x \in [1 ， 2]$ ，均有 $| x^{2} - a | + | x + a | = | x^{2} + x |$ ，则实数a的取值范围为．

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16. 若不等式 $l n x - a x \leq 2 a^{2} - 3$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足： $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{3}$ ， $a_{7}$ 为方程 $x^{2} - 18 x + 65 = 0$ 的两根，且 $a_{7} > a_{3}$ .若对于任意 $n \in N^{*}$ ，不等式 $2^{n} a_{n} (4 - λ) > {(a_{n} - 1)}^{2}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围为.

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18. 若不等式 $a x^{2} > x^{2} - x - 1$ 对 $x \in (- \infty ， 0)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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19. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ，对任意的 $λ > 0 ， | \vec{a} - λ \vec{b} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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20. 已知关于 $x$ 的不等式 $e^{x - 1} + a > a l n (a x - 2 a) (a > 0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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21. 若对于 $\forall m \in [- e ， e]$ ， $\forall y \in (- 1 ， + \infty)$ ，使得不等式 $4 x^{3} + l n (x + 1) + (2023 - m) x - 1 < y l n (y + 1)$ 恒成立，则实数x的范围为．

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22. 设实数 $a \neq 0$ ，不等式 $\frac{e^{x}}{a} - 2 a x \geq \sqrt{2 e^{x} + 1}$ 对任意实数 $x \geq - \frac{1}{2}$ 恒成立，则a的取值范围为．

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三、解答题

23. 已知 $f (x) = a x - \frac{s i n x}{c o s^{3} x} ， x \in (0 ， \frac{π}{2})$

(1)、若 $a = 8$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) < s i n 2 x$ 恒成立，求a的取值范围．

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24. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = e^{x} - a s i n x ， g (x) = b \sqrt{x}$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 有公共点，
（i）当 $a = 0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证： $a^{2} + b^{2} > e$ ．

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25. 已知函数 $f (x) = x e^{a x} - e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) < - 1$ ，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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26. 图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数 $q ， a_{1 ， 1} > 0 ， a_{1.3} = 5 ， a_{2 ， 2} = - 6 ， a_{4 ， 2}^{2} = a_{7 ， 5}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n ， n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = a_{1 ， 1} + a_{2 ， 1} + ⋯ + a_{n ， 1}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使 $a_{n ， 1} \leq λ S_{n}$ 恒成立，若存在，求出 $λ$ 的所有值，若不存在，请说明理由.

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27. 已知函数 $f (x) = \frac{c o s x - x}{x^{2}} ， x \in (0 ， + ∞)$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有且只有一个零点；

(2)、当 $x \in (0 ， π)$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(3)、设 $g_{i} (x) = k_{i} x + b ， i = 1 ， 2$ ，若对任意的 $x \in [\frac{π}{2} ， + ∞) ， g_{1} (x) \leq f (x) \leq g_{2} (x)$ 恒成立，且不等式两端等号均能取到，求 $k_{1} + k_{2}$ 的最大值.

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28. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x^{2} + a |$ （ $x ∈ R$ ）．

(1)、若 $a = 1$ ，求证： $f (x) \geq 4$ ；

(2)、若对于任意 $x \in [1 ， 2]$ ，都有 $f (x) \leq 4$ ，求实数a的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = - l n x$ ， $g (x) = x^{3} - a x + \frac{1}{4}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $g (x_{1}) = g (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 0$ ；

(2)、用 $m i n {m ， n}$ 表示m，n中的最小值，记函数 $h (x) = m i n {f (x)$ ， $g (x)} (x > 0)$ ，若函数 $h (x)$ 有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + a}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq 0$ 时，不等式 $f (x) \leq 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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31. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{1}{2} x^{2} + x - m l n x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程．

(2)、若存在 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
（i） $m > 0$ ；
（ii） $2 m > e (l n x_{1} + l n x_{2})$ ．

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32. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若 $g (x) = a (x^{2} - 1) l n x - {(x - 1)}^{2}$ （ $a \neq 0$ ）有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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33. 已知函数 $f (x) = k l n x + \frac{1}{e^{x}} (k \in R)$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 为增函数，求 $k$ 的取值范围；

(2)、已知 $0 < x_{1} < x_{2}$ .
（i）证明： $\frac{e}{e^{x_{2}}} - \frac{e}{e^{x_{1}}} > 1 - \frac{x_{2}}{x_{1}}$ ；
（ii）若 $\frac{x_{1}}{e^{x_{1}}} = \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}} = k$ ，证明： $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ .

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34. 已知函数 $f (x) = | x - a - 1 | + | x - 2 a |$ ．

(1)、证明：存在 $a \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) \geq 1$ 恒成立．

(2)、当 $x \in [2 a ， 4]$ 时， $f (x) \leq x + a$ ，求a的取值范围．

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35. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n (1 - x) ， a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $2 f (x_{1}) - a x_{2} > (2 l n 2 - \frac{3}{2}) a$ .

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