【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：抽象函数及其应用

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A、f(0)=0 B、f(1)=0 C、f(x)是偶函数 D、x=0为f(x)的极小值点

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2. 若函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y) ， f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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3. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x) + g (2 - x) = 5 ， g (x) - f (x - 4) = 7$ ．若 $y = g (x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 4$ ，则 ${\sum^{}}_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-21 B、-22 C、-23 D、-24

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4. 函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）

A、[﹣2，2] B、[﹣1，1] C、[0，4] D、[1，3]

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点间的折线距离 $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，该距离也称曼哈顿距离．已知点 $M (2 ， 0) ， N (a ， b)$ ，若 $d (M ， N) = 2$ ，则 $a^{2} + b^{2} - 4 a$ 的最小值与最大值之和为（）

A、0 B、-2 C、-4 D、-6

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6. 定义区间 $[a ， b]$ ， $(a ， b)$ ， $(a ， b]$ ， $[a ， b)$ 的长度为 $b - a$ .如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为常数 $m$ （其中 $m \in (0 ， e]$ ， $e$ 为自然对数的底数），那么称这个函数为“ $m$ 函数”，则（）

A、 $f (x) = x^{3} + l n x$ 是“ $m$ 函数” B、 $g (x) = \frac{l n x}{x}$ 是“ $m$ 函数” C、 $h (x) = l n x - e^{x}$ 是“ $m$ 函数”，且 $m e^{m} = 1$ D、 $φ (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ 是“ $m$ 函数”，且 $m l n m = 1$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对于给定集合 $A$ ，若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in A$ 时都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in A$ ，则称 $f (x)$ 是“ $A$ 封闭”函数.则下列命题正确的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 是“ $[- 1 ， 1]$ 封闭”函数 B、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 都是“ ${0}$ 封闭”函数 C、若 $f (x)$ 是“ ${1}$ 封闭”函数，则 $f (x)$ 一定是“ ${k}$ 封闭”函数 $(k \in N^{*})$ D、若 $f (x)$ 是“ $[a ， b]$ 封闭”函数 $(a ， b \in N^{*})$ ，则 $f (x)$ 不一定是“ ${a b}$ 封闭”函数

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ， $f (x) = - f (x + 2)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的函数 B、 $f (2022) = 1$ C、 $f (x)$ 的值域是 $[- e ， e]$ D、方程 $| e f (x) | = 1$ 在区间 $[0 ， \frac{2023}{2}]$ 内恰有 $1011$ 个实数解

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9. 对于定义在区间 $D$ 上的函数 $f (x)$ ，若满足： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则称函数 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的“非减函数”，若 $f (x)$ 为区间 $[0 ， 2]$ 上的“非减函数”，且 $f (2) = 2$ ， $f (x) + f (2 - x) = 2$ ，又当 $x \in [\frac{3}{2} ， 2]$ 时， $f (x) \leq 2 (x - 1)$ 恒成立，下列命题中正确的有（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $\exists x_{0} \in [\frac{3}{2} ， 2]$ ， $f (x_{0}) < 1$ C、 $f (\frac{1}{4}) + f (\frac{2}{3}) + f (\frac{25}{18}) + f (\frac{7}{4}) = 4$ D、 $\forall x \in [0 ， \frac{1}{2}]$ ， $f (f (x)) \leq - f (x) + 2$

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10. 已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1 ， 2)$ ，且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 1) < 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(－ \infty, 0) \cup^{} (2, + \infty)$ D、 $(－ \infty, - 2) \cup^{} (0, + \infty)$

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11. 若对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，有 $f (x) + f (y) - f (x + y) = 3$ ，函数 $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} + f (x)$ ，则 $g (2) + g (- 2)$ 的值 $($ $)$

A、0 B、4 C、6 D、9

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12. 已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+4）=﹣f（x），且函数y=f（x+2）是偶函数，当x∈（0，2]时， $f (x) = l n x - a x (a > \frac{1}{2})$ ，当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为3，则a的值等于（）

A、e² B、e C、2 D、1

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13. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，且对于任意正数 $x, y$ 有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，已知 $f (\frac{1}{2}) = - 1$ ，若一个各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $f (S_{n}) = f (a_{n}) + f (a_{n} + 1) - 1 (n \in N^{*})$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则数列 ${a_{n}}$ 中第18项 $a_{18} =$ （）

A、 $\frac{1}{36}$ B、9 C、18 D、36

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14. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣1，则f（﹣2017）+f（2018）=（　　）

A、1 B、﹣1 C、0 D、2

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二、填空题

15. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x³+x² ，则f（2）= ．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，记 $f^{(2)} (x) = f (f (x)) = 2 (2 x + 1) + 1 = 4 x + 3$ 为函数 $f (x)$ 的2次迭代函数， $f^{(3)} (x) = f (f (f (x))) = 4 (2 x + 1) + 3 = 8 x + 7$ 为函数 $f (x)$ 的3次迭代函数，…，依次类推， $f^{(n)} (x) = \underset{n 个}{\underset{︸}{f (f (f (\cdot \cdot \cdot f (x) \cdot \cdot \cdot)))}}$ 为函数 $f (x)$ 的n次迭代函数，则 $f^{(n)} (x) =$ ； $f^{(100)} (32)$ 除以17的余数是．

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17. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 2) = - f (2 x)$ ，且 $y = f (2 x - 1)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{4}$ 对称.若 $x \in (\frac{1}{2} ， \frac{5}{4})$ 时， $f (x) = 3 - 4 x$ ，则 $f (2022) =$ .

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18. 函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (x) = f (2 - x)$ ，若 $f (1) = 3$ ，则 $f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ .

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19. 已知周期为 $6$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = f (4 - x)$ ，当 $x \in [1 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则当 $\sqrt{2} < e^{a} \leq \sqrt[3]{3}$ 时（ $e$ 为自然对数的底数），关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) - a f (x) < 0$ 在区间 $[1 ， 15]$ 上的整数解的个数为．

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20. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：
$R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p}, 当 x = \frac{q}{p} (p, q 都是正整数, \frac{q}{p} 是既约真分数) \\ 0, 当 x = 0, 1 或 [0, 1] 上的无理数 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x$ 都有 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{18}{5}) + f (\lg 30) =$ .

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21. 已知 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 与 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 、 $b_{3}$ 是 $6$ 个不同的实数，若关于 $x$ 的方程 $| x - a_{1} | + | x - a_{2} | + | x - a_{3} | = | x - b_{1} | + | x - b_{2} | + | x - b_{3} |$ 的解集 $A$ 是有限集，则集合 $A$ 中最多有个元素

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22. 已知定义在Z上的函数f（x），对任意x，y∈Z，都有f（x+y）+f（x﹣y）=4f（x）f（y）且f（1）= $\frac{1}{4}$ ，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）= ．

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23. 若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x²﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．

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24. 已知定义在[0，1]上的函数满足：①f（0）=f（1）=0，②对于所有x，y∈[0，1]且x≠y有|f（x）﹣f（y）|＜ $\frac{1}{2}$ |x﹣y|．若当所有的x，y∈[0，1]时，|f（x）﹣f（y）|＜k，则k的最小值为．

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25. 若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+3）≥f（x）+3和f（x+2）≤f（x）+2，且f（1）=1，则f（2 017）的值为．

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三、解答题

26. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域是R，它的导数是 $f^{'} (x)$ ．若存在常数 $m$ $(m \in R)$ ，使得 $f (x + m) = - f^{'} (x)$ 对一切 $x$ 恒成立，那么称函数 $y = f (x)$ 具有性质 $P (m)$ ．

(1)、求证：函数 $y = e^{x}$ 不具有性质 $P (m)$ ；

(2)、判别函数 $y = s i n x$ 是否具有性质 $P (m)$ ．若具有求出 $m$ 的取值集合；若不具有请说明理由．

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27. 已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）．

(1)、判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = \lg \frac{a}{x^{2} + 2}$ 属于集合M，求实数a的取值范围；

(3)、若f（x）=2^x+bx² ，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．

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28. 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且当x＞1时，有f（x）＞0．
①求证：f（ $\frac{m}{n}$ ）=f（m）﹣f（n）；
②求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
③比较f（ $\frac{m + n}{2}$ ）与 $\frac{f (m) + f (n)}{2}$ 的大小．

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29. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (\frac{m}{n}) = f (m) - f (n)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(2)、若 $f (2) = 1$ ，解不等式 $f (x + 3) - f (3 x) > 3$ .

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30. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，且对一切 $m > 0$ ， $n > 0$ ，都有 $f (\frac{m}{n}) = f (m) - f (n) + 2$ ，当 $x > 1$ 时，总有 $f (x) < 2$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、证明： $f (x)$ 是定义域上的减函数；

(3)、若 $f (4) = 1$ ，解不等式 $f (x - 2) - f (8 - 2 x) < - 1$ .

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31. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ 且 $f (x + 1) = - f (x)$ ．当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = \frac{3^{x}}{3^{x} + 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的解析式；

(2)、当 $m$ 为何值时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = 2 m$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有实数解．

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32. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，满足 $f (- x) = 2 - f (x)$ ，则称“局部中心函数”.

(1)、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 4 a + 1$ （ $a \in R$ ），试判断 $f (x)$ 是否为“局部中心函数”，并说明理由；

(2)、若 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 是定义域为 $R$ 上的“局部中心函数”，求实数 $m$ 的取值范围.

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33. 设函数y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函数，且对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

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34. 定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．

(1)、求f（0）的值；

(2)、证明：函数f（x）是R上的单调增函数；

(3)、解关于t的不等式f（2t²﹣t）＜1．

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35. 设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．

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36. 现定义：设 $a$ 是非零实常数，若对于任意的 $x \in D$ ，都有 $f (a - x) = f (a + x)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“关于的 $a$ 偶型函数”

(1)、请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明

(2)、设定义域为的“关于的 $a$ 偶型函数”在区间 $(- \infty, a)$ 上单调递增，求证在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递减

(3)、设定义域为 $R$ 的“关于 $\frac{1}{2}$ 的偶型函数” $y = f (x)$ 是奇函数，若 $n \in N^{*}$ ，请猜测 $f (n)$ 的值，并用数学归纳法证明你的结论

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