【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的图象

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 $[- 3 ， 3]$ 的大致图像，则该函数是（）

A、 $y = \frac{- x^{3} + 3 x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 x \cos x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{2 \sin x}{x^{2} + 1}$

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2. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $T$ 和 $1 g P$ 的关系，其中 $T$ 表示温度，单位是 $K$ ； $P$ 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）

A、当 $T = 220$ ， $P = 1026$ 时，二氧化碳处于液态 B、当 $T = 270$ ， $P = 128$ 时，二氧化碳处于气态 C、当 $T = 300$ ， $P = 9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D、当 $T = 360$ ， $P = 729$ 时，二氧化碳处于超临界状态

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， & x ⩾ 0 ， \\ - x ， & x < 0. \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - | k x^{2} - 2 x | (k \in R)$ 恰有4个零点，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - x - 1$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是（）．

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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5. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量）．某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 $P_{1}$ 低于均衡价格 $P_{0}$ 时，需求量大于供应量，价格会上升为 $P_{2}$ ；当产品价格 $P_{2}$ 高于均衡价格 $P_{0}$ 时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格 $P_{0}$ ．能正确表示上述供求关系的图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，则 $f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、.

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8. 如图，动点P从点M出发，按照 $M \to D \to C \to B$ 路径运动，四边形ABCD是边长为2的正方形，弧DM以A为圆心，AD为半径，设点P的运动路程为x， $△ A P B$ 的面积为y，则函数 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) s i n x$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f_{1} (x) = x^{3} - 3 x ， f_{n} (x) = | f_{n - 1} (x) | - 1 (n \geq 2)$ ，则 $f_{2023} (x)$ 的零点个数为（）

A、2023 B、2025 C、2027 D、2029

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11. 如图是下列某个函数在区间 $[- 2 ， 2]$ 的大致图象，则该函数是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1} c o s \frac{x}{2}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x}{x^{2} + 1} s i n x$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1} c o s x$

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12. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）

A、 $y = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x + \frac{1}{3} s i n 3 x$ B、 $y = s i n x - \frac{1}{2} s i n 2 x - \frac{1}{3} s i n 3 x$ C、 $y = s i n x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$ D、 $y = c o s x + \frac{1}{2} c o s 2 x + \frac{1}{3} c o s 3 x$

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13. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + 1 ， x \leq 2 ， \\ f (x - 2) ， x > 2 ， \end{array}$ 与函数 $g (x) = l o g_{a} (x + 3)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像有且仅有一个交点，则 $a$ 的范围为（）

A、 ${a | a > 5}$ B、 ${a | a \geq 5}$ C、 ${a | 0 < a \leq 5 且 a \neq 1}$ D、 ${a | 0 < a < 5 且 a \neq 1}$

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14. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot c o s x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

15. 已知集合 $A = [t ， t + 1] \cup [t + 4 ， t + 9]$ ， $0 \notin A$ ，存在正数 $λ$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{λ}{a} \in A$ ，则 $t$ 的值是．

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16. 若函数 $f (x) = l o g_{2} | a + x |$ 的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．

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17. 已知函数 $f (x) = t a n 2 x$ 与 $g (x) = s i n (x - \frac{π}{6})$ 的图象在区间 $[- π ， π]$ 上的交点个数为m，直线 $x + y = 2$ 与 $f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， π]$ 上的交点的个数为n，则 $m + n =$ ．

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18. 若函数 $y = {\begin{array}{l} \frac{x^{3}}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ a x^{2} ， x < 0 \end{array}$ 的图像上点 $A$ 与点 $B$ 、点 $C$ 与点 $D$ 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图象上的其它两点关于原点对称，则实数 $a$ 的取值范围是．

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19. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为：．

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20. 已知 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b + | x^{2} - a x - b |}{2}$ 的最小值为 $b^{2}$ ，则 $b$ 的取值范围是：.

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21. 已知函数c $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 3 ， x \geq a ， \\ x - 2 ， x < a ， \end{array}$ 若存在实数 $m$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 恰有三个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是．

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22. 设函数 $f_{0} (x) = | x |$ ， $f_{1} (x) = | f_{0} (x) - 1 |$ ， $f_{2} (x) = | f_{1} (x) - 2 |$ .则函数 $f_{2} (x)$ 的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.

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23. 若关于x的不等式 $a (x + 1) e^{x} - x < 0$ 有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为．

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24. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， x > 0 \\ 2 - x e^{x} ， x \leq 0 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - m$ 有三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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25. 函数 $f (x) = e^{x - 1} - a l n x - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有两个零点，则实数a的取值范围是.

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 |$ ．

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图像；

(2)、求不等式 $f (x) > f (x + 1)$ 的解集．

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27. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 1 | - | x + 1 |$ ， $g (x) = | x - 1 |$ ．

(1)、在给出的坐标系中画出函数 $y = f (x)$ 的图像；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq a g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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28. 设函数 $f (x) = 3 | x - 2 | + | x |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

(2)、求直线 $y = a$ 与 $f (x)$ 的图象围成的三角形的面积的最大值.

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29. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - 2 | x - 5 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若 $f (x) ⩽ | 2 x + t |$ ，求实数t的取值范围.

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30. 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系 $x o y$ 中，定义点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 的“直角距离” $d (A ， B)$ 为： $d (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，设 $M (1 ， 1) ， N (- 1 ， - 1)$ .

(1)、写出一个满足 $d (C ， M) = d (C ， N)$ 的点 $C$ 的坐标；

(2)、过点 $M (1 ， 1) ， N (- 1 ， - 1)$ 作斜率为2的直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，点 $Q 、 R$ 分别是直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 上的动点，求 $d (Q ， R)$ 的最小值；

(3)、设 $P (x ， y)$ ，记方程 $d (P ， M) + d (P ， N) = 8$ 的曲线为 $Γ$ ，类比椭圆研究曲线 $Γ$ 的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

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31. 已知函数f(x)=|x-1|，函数g(x)=m-|x|．

(1)、当m=3时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；

(2)、若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．

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32. 已知函数f(x)=|x-1|，函数g(x)=m-|x|．

(1)、当m=3时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；

(2)、若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．

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33. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | 2 x - 5 | - 7$ .

(1)、在如图所示的网格中画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若当 $x < 1$ 时､ $f (x) > f (x + a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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34. 已知函数 $f (x) = \sin x - a e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- π ， \frac{π}{2}]$ 上的零点个数．

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35. 已知函数 $f (x) = {(x + 1)}^{2} - 3 a ln x, a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象经过的定点坐标；

(2)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程及函数 $f (x)$ 单调区间；

(3)、若对任意 $x \in [1, e]$ ， $f (x) \leq 4$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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36. 已知函数 f(x)=|2x−1|-|x+2| .

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x \in [m ， + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq x - m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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