【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：映射

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $f$ ： $x \to | x |$ 是集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数，如果集合 $B = {2}$ ，那么集合 $A$ 可能为（）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、{-2} C、 ${- 2 ， 2}$ D、{2}

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2. 已知集合 $M = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $N = {y | 0 \leq y \leq 4}$ ，则下列表达式能建立从集合 $M$ 到集合 $N$ 的函数关系的有（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = l n x$ D、 $y = \frac{1}{2} x^{3}$

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3. 以下给出了4个对应关系： $A = R ， B = R ，$ 对应关系 $f ： y = \frac{1}{x + 1} ， x \in A ， y \in B$ ；
$A = {0 ， 1 ， 2 ， \dots} ， B = {0 ， 1 ， 2 ， 3} ，$ 对应关系 $f ： A$ 中的元素对应它除以4的余数；

$M = {$ 你们班的同学 $}$ ， $N = {$ 身高 $}$ ， $f ：$ 每个同学的身高；
$M = {$ 三角形的周长 $}$ ， $N = {$ 所有的三角形 $}$ ， $f ：$ 周长相等的三角形；
其中可称为映射的对应关系共有（）个

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 $\to$ 密文（加密），接收方由密文 $\to$ 明文（解密），已知加密规则为：明文 $a ， b ， c ， d$ 对应密文 $a + 2 b ， 2 b + c ， 2 c + 3 d ， 4 d .$ 例如，明文 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 对应密文 $5 ， 7 ， 18 ， 16.$ 当接收方收到密文 $14 ， 9 ， 23 ， 28$ 时，则解密得到的明文为（）

A、 $7 ， 6 ， 1 ， 4$ B、 $6 ， 4 ， 1 ， 7$ C、 $4 ， 6 ， 1 ， 7$ D、 $1 ， 6 ， 4 ， 7$

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5. 设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {y | 1 \leq y \leq 4}$ ，则下述对应法则 $f$ 中，不能构成A到B的映射的是（）

A、 $f ： x \to y = x^{2}$ B、 $f ： x \to y = 3 x - 2$ C、 $f ： x \to y = - x + 4$ D、 $f ： x \to y = 4 - x^{2}$

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6. 已知集合 $A$ 到 $B$ 的映射 $f ： x \to y = 2 x + 1$ ，那么集合 $A$ 中元素2在 $B$ 中的象是（）

A、5 B、 $\frac{1}{2}$ C、6 D、8

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7. 已知映射 $f ： A \to B$ .若集合A中元素x在对应法则f下的像是 $| x |$ ，则B中元素 $\sqrt{2}$ 的原像可以是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2

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8. 设A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下列各图中能表示从A到B的映射的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知映射 $f ： (x ， y) \to (x + 2 y ， x - 2 y)$ ，在映射f下 $(3 ， - 1)$ 的原象是（）

A、 $(3 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(1 ， 5)$ D、 $(5 ， - 7)$

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10. 下列在法则 $f$ 的作用下，从集合 $A$ 到集合 $B$ 的对应中，不是映射的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 设 $a \in R$ ， $A = {a^{2} - 2a + 3 ， - 1 ， - 2}$ ， $B = {- 2 ， 4a ， - 4 ， - 6}$ ，从 $A$ 到 $B$ 的映射是“求2倍”则a=

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12. 下列对应关系中，哪些是从集合A到集合B的映射．
① $A = B = N^{*}$ ，对应关系： $f : x \to y = | x - 3 |$

② $A = R, B = {0, 1}$ ，对应关系 $f : x \to y = {\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ 0, x < 0 \end{array}$

③ $A =$ {矩形}， $B =$ {实数}，对应关系 $f :$ 矩形的面积

④ $A = R, B = (0, + \infty), f : x \to y = | x |$

⑤ $A = Z, B = R, f : x \to y = \sqrt{x}$ ．

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13. 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是.

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14. 已知 $(x ， y)$ 在映射 $f$ 下的象是 $(x - y ， x + y)$ ，则 $(3 ， 5)$ 在 $f$ 下的象是，原象是

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15. 定义区间 $[a, b]$ 的长度为 $b - a$ ，区间 $[0, m]$ 在映射 $f : x \to 2 x + m$ 所得的对应区间为 $[a, b]$ ，若区间 $[a, b]$ 的长度比区间 $[0, m]$ 的长度大5，则 $m =$ ．

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16. 在对应法则 $f$ 的作用下, $A$ 中元素 $(x, y)$ 与 $B$ 中元素 $(x^{5}, 2^{y})$ 一一对应，则与 $B$ 中元素 $(32, 8)$ 对应的 $A$ 中元素是.

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17. 设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝.

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18. 已知集合 $A = N, B = R, f$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射： $x \to y = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}, x \in A, y \in B$ ，则在 $f$ 的作用下，原像 $< 1$ 的像是，像 $< \frac{9}{11}$ 的原像是.

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19. 函数 $f （ x ）$ 的定义域为A，若 $x_{1} ， x_{2} \in A 且 f （ x_{1} ） =f （ x_{2} ）$ 时总有 $x_{1} {=x}_{2} ，则称 f （ x ）$ 为单函数.例如，函数 $f （ x ）$ =2x+1（ $x \in R$ ）是单函数.下列命题：
①函数 $f （ x ）$ = $x^{2}$ （x $\in$ R）是单函数；②若 $f （ x ）$ 为单函数， $x_{1}, x_{2} \in A$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 则 $f （ x_{1} ） \neq f （ x_{2} ）$ ；③若f：A $\to$ B为单函数，则对于任意b $\in$ B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）

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20. 在映射 $f : A \to B$ 中， $A = B = {(x, y) | x, y \in R}$ ，且 $f : (x, y) \to (x - y, x + y)$ ，则 $A$ 中的元素 $(- 1, 2)$ 在 $B$ 中对应的元素为．

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三、解答题

21. 已知集合 $M = {0, 1, 2}$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D = {1, 2, 3, 4}$ ，值域为A.

(1)、若 $A = M$ ，求不同的函数 $y = f (x)$ 的个数；

(2)、若 $A \subseteq M$ ，
（ⅰ）求不同的函数 $y = f (x)$ 的个数；

（ⅱ）若满足 $f (1) + f (2) + f (3) + f (4) = 4$ ，求不同的函数 $y = f (x)$ 的个数.

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22. 设f：A→B是A到B的一个映射，其中 $A = B = {(x, y) | x, y \in R}$ ，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，求与A中的元素(－1,2)相对应的B中的元素和与B中的元素(－1,2)相对应的A中的元素．

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23. 已知集合A到集合B={0，1， $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ }的映射f：x→ $\frac{1}{| x | - 1}$ ，那么集合A中的元素最多有几个？并写出元素个数最多时的集合A．

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24. 设A=B={a，b，c，d，e，…，x，y，z}（元素为26个英文字母），作映射A→B为：
并称A中字母拼成的文字为明文，相应B中对应字母拼成的文字为密文，则：

(1)、“mathematics”的密文是什么？

(2)、试破译密文“ju jt gvooz”．

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25. 已知集合A=R，B={（x，y）|x，y∈R}，f：A→B是从集合A到B的映射．若f：x→（x+1，x﹣1），求A中元素3在B中的对应元素和B中元素（﹣4，﹣6）在A中的对应元素．

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26. 设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A={实数}，B=R，f：x→x²﹣2x﹣1，求A中元素1+ $\sqrt{2}$ 的像和B中元素﹣1的原像．

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27. 设集合A={a，b，c，d}，B={1，2，3，4，5，6}，则从集合A到集合B的映射中能构成f（a）≤f（b）≤f（c）≤f（d）的不同映射个数是多少？

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28. 设f：A→B是从A 到B的一个映射，其中A=B={（x，y）|x，y∈R}，（x，y）在映射f的作用下的像是（2x﹣y，2y﹣x），求：

(1)、求A中元素（﹣1，2）在f作用下的像

(2)、求B中元素（3，﹣3）在f 作用下的原像．

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29. 已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a⁴ ， a²+3a}，a∈N^* ， x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．

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30. 已知集合A={a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄}，B={0，1，2，3}，f是从A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？
（2）若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？
（3）若f满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，这样的f又有多少个？

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