【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数解析式的求解及常用方法

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）

A、y= $\frac{1}{125} x^{3}$ ﹣ $\frac{3}{5}$ x B、y= $\frac{2}{125}$ x³﹣ $\frac{4}{5}$ x C、y= $\frac{3}{125}$ x³﹣x D、y=﹣ $\frac{3}{125}$ x³+ $\frac{1}{5}$ x

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2. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x³+x²+1，则f（1）+g（1）=（）

A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、3

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3. 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e^x关于y轴对称，则f（x）=（）

A、e^x+1 B、e^x^﹣¹ C、e^﹣^x+1 D、e^﹣^x^﹣¹

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4. 存在函数 $f (x)$ ，对任意 $x ∈ R$ 都有 $f (g (x)) = x$ ，则函数 $g (x)$ 不可能为（）

A、 $c o s x$ B、 ${\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$ C、 $x^{3} - x$ D、 $e^{x} - e^{- x}$

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5. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A、 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | - 2 s i n 2 x$ B、 $f (x) = | s i n x | - | c o s x | + 2 s i n 2 x$ C、 $f (x) = | s i n x | - | c o s x | + 2 c o s 2 x$ D、 $f (x) = | s i n x | + | c o s x | + 2 c o s 2 x$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式应为（）

A、 $f (x) = e^{x} l n x$ B、 $f (x) = e^{- x} l n | x |$ C、 $f (x) = e^{x} l n | x |$ D、 $f (x) = e^{| x |} l n | x |$

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7. 若函数 $f (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x} + 1$ ，则函数 $g (x) = f (x) - 4 x$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、-3 D、-4

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8. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的图象关于 $y$ 轴对称，那么函数 $y = f (x)$ 的图象（）

A、关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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9. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2} (x < 0)$ 与 $g (x) = l o g_{2} (x + 2 a)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(- \infty ， \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{4})$

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10. 下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）

A、 $y = - \frac{1}{2^{| x - 1 |}}$ B、 $y = - | \frac{1}{2^{x}} - 1 |$ C、 $y = - 2^{| x - 1 |}$ D、 $y = - | 2^{x} - 1 |$

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11. 已知对数函数 $f (x)$ 的图像经过点 $A (\frac{1}{8} ， - 3)$ 与点 $B (16 ， t)$ ， $a = l o g_{0.1} t$ ， $b = 0 . 2^{t}$ ， $c = t^{0.1}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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12. 已知定义域为 $I$ 的偶函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，且 $\exists x_{0} \in I$ ，使 $f (x_{0}) < 0$ ．则下列函数中符合上述条件的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 3$ B、 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ C、 $f (x) = l o g_{2} | x |$ D、 $f (x) = c o s x + 1$

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13. 已知函数 $f (x)$ 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A、 $f (x) = x^{2} + l n \frac{2 + c o s x}{2 - c o s x}$ B、 $f (x) = x^{3} l n \frac{2 + c o s x}{2 - c o s x}$ C、 $f (x) = x^{3} + l n \frac{2 + s i n x}{2 - s i n x}$ D、 $f (x) = x^{2} l n \frac{2 + s i n x}{2 - s i n x}$

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二、填空题

14. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ ；则当 $x > 0$ ， $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ .

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15. 已知奇函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 3^{- x} ， x < 0 ， \\ g (x) + 1 ， x > 0 ， \end{array}$ 则 $g (x) =$ ．

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16. 写出一个满足下列条件的正弦型函数， $f (x) =$ ．
①最小正周期为 $π$ ；② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；③ $\forall x \in R ， | f (x) | \leq 2$ 成立．

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17. 已知函数 $f (x) = 1 + 2 l o g_{2} (1 + x)$ （ $x \in (- 1 ， + \infty)$ ）.

(1)、 $\forall x \in (- 1 ， + \infty)$ ， $f (1 + 2 x) - f (x) =$ ；

(2)、若m，n满足 $f (m - 1) + f (n - 2) = f (n) - 1$ ，则 $m + n$ 的最小值是.

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18. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x) + 1$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{3}$ ．设 $f (x)$ 在区间 $[n ， n + 1) (n \in N^{*})$ 上的最小值为 $a_{n}$ ．若存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $λ (a_{n} + 1) < 2 n - 7$ 有解，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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19. 已知函数 $f (x) = {(2 x + 3)}^{4} + m$ 的图象经过坐标原点，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程是.

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20. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) + f (1 + x) = 2$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2 x - x^{2}$ ，若 $f (x) \geq x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则实数 $b$ 的最大值为.

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21. 下列命题中，真命题的序号是.
①已知函数 $f (x)$ 满足 $f (\sqrt{x} - 1) = 2 x + 1$ ，则函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 x + 3$ ：
②从分别标有 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 9$ 的9个完全相同的小球中不放回地随机摸球2次，每次摸球1个，则摸到的2个球上的数字奇偶性相同的概率是 $\frac{4}{9}$ ；
③用数学归纳法证明“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ⋯ + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2} (n \in N^{*})$ ”，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，不等式左边应添加的项是 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}$ ；
④ ${(2021 \sqrt[3]{x} + \frac{2022}{\sqrt{x}})}^{18}$ 的二项展开式中，共有3个有理项.

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22. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式 $f (x) =$ .
① $f (x)$ 的最大值为2；② $\forall x \in R$ ， $f (2 - x) = f (x)$ ；③ $f (x)$ 是周期函数．

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23. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 l n x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为．

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三、解答题

24. 已知关于x的函数 $y = f (x) ， y = g (x)$ 与 $h (x) = k x + b (k ， b \in R)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{2} + 2 x ， g (x) = - x^{2} + 2 x ， D = (- \infty ， + \infty)$ ，求h(x)的表达式；

(2)、若 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (x) = k \ln x ， h (x) = k x - k ， D = (0 ， + \infty)$ ，求k的取值范围；

(3)、若 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} ， g (x) = 4 x^{2} - 8 ， h (x) = 4 (t^{2} - t) x - 3 t^{4} + 2 t^{2} (0 < | t | \leq \sqrt{2}) ，$ $D = [m ， n] \subseteq [- \sqrt{2} ， \sqrt{2}] ，$ 求证： $n - m \leq \sqrt{7}$ ．

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25. 已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ $\frac{π}{4}$ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{π}{2}$ 单位长度后得到函数g（x）的图象．

(1)、求函数f（x）与g（x）的解析式

(2)、是否存在x₀∈（ $\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}$ ），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数，若不存在，说明理由；

(3)、求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

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26. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 同时满足下列四个条件中的三个：① $f (- \frac{π}{6}) = 0$ ；② $f (0) = - 1$ ；③最大值为2；④最小正周期为 $π$ .

(1)、给出函数 $f (x)$ 的解析式，并说明理由；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间.

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27. 设 $f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数，且对任意实数 $x ， y$ 满足 $f (x - y) = f (x) + f (y) + x y - 1$ 恒成立

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若方程 $f [f (2 x)] = k$ 恰有两个实数根在 $(- 2 ， 2)$ ）内，求实数 $k$ 的取值范围.

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28. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{l n 2}$ ，且 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $2 {[f (x)]}^{2} - 3 g (x) \leq 8$ 的解集．

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29. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、从下面四个条件中选择两个作为已知，求 $f (x)$ 的解析式，并求其在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值．
条件①： $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ ；
条件②： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增；
条件③： $f (x)$ 的图象经过点 $(0 ， 1)$ ；
条件④： $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．

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30. 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年， $f (n)$ 为第1年至此后第 $n (n \in N^{*})$ 年的累计利润（注：含第 $n$ 年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当 $f (n)$ 为正值时，认为新产品赢利.

(1)、试求 $f (n)$ 的表达式；

(2)、根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.

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31. 已知直线 $x = t (t \in R)$ 与函数 $y = s i n 2 x$ 、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像分别交于M、N两点．

(1)、当 $t = \frac{π}{4}$ 时，求 $| M N |$ 的值；

(2)、求 $| M N |$ 关于 $t$ 的表达式 $f (t)$ ，写出函数 $y = f (t)$ 的最小正周期，并求其在区间 $[0 ， 2 π]$ 内的零点．

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32. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 2 s i n x + 1$ ， $g (x) = e^{x} (s i n x + c o s x + x^{2} - 2 x)$ .

(1)、求证： $f (x) > 0$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上恒成立；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $g (x) \geq a f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）对 $\forall x \in R$ 有 $f (x) \leq f (2)$ ，且函数 $g (x) = \log_{2} (f (x) - x)$ 的定义域为 $(1 ， 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $t > 0$ ，求 $f (x)$ 在 $[0 ， t]$ 上的值域.

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34. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{3} - x) + \cos^{2} (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x + φ - \frac{π}{24}) - \frac{1}{2}$ ， $φ \in (0, π)$ 且 $\tan φ = \frac{3}{4}$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x - 1 | ， a \in R$ .

(1)、若不等式 $f (x) + | x - 1 | \geq 2$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a < 2$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $a - 1$ ，求实数 $a$ 的值.

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