【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的值域

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ ；
② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；
③当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的取值范围为 $[- \frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4}]$ ；
④ $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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3. 已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）² 的图象与y= $\sqrt{x}$ +m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

A、（0，1]∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） B、（0，1]∪[3，+∞） C、（0， $\sqrt{2}$ ）∪[2 $\sqrt{3}$ ，+∞） D、（0， $\sqrt{2}$ ]∪[3，+∞）

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4. 已知函数 $f (x) = | \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} - a |$ ，存在实数 $x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + ⋯ + f (x_{n - 1}) = f (x_{n})$ 成立，若正整数 $n$ 的最大值为6，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， \frac{5}{3})$ B、 $(- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{5}]$ C、 $[\frac{7}{5} ， \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2} ， - \frac{7}{5}]$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3} ， - \frac{3}{2}]$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} | _{m i n} = π$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $f (ω x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{15}{4} ， \frac{19}{4})$ D、 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，令 $g (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ .则 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上的值域为 $(0 ， 1)$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{s i n x} + c o s x ， x \in (0 ， π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有两个极值点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，则 $x_{1} + x_{2} < π$

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7. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q ， \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q ， \end{array}$ 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 $f (x) = x^{2} - D (x)$ ，则下列实数不属于函数 $f (x)$ 值域的是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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8. 设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 在其定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“有源”函数.已知 $f (x) = l n x - 2 x - a$ 是“有源”函数，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - l n 2 - 1]$ D、 $(- l n 2 - 1 ， + \infty)$

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9. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且 $A B = P Q = 2$ ，当PQ绕点A转动时， $\vec{B P} \cdot \vec{C Q}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[- 3 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 3]$

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10. 函数 $f (x) = \frac{5 \sin x}{e^{| x |}} + x \cos x$ 在 $[- 2 π ， 2 π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 下面关于函数 $f (x) = s i n 2 x + 2 | s i n x | c o s x$ 的结论，其中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[- 2 ， 2]$ B、 $f (x)$ 是周期函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、当 $x \in (π ， 2 π)$ 时 $f (x) = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 1}{2^{x + 1} + a} (a \in R)$ 为奇函数，且 $y = f (x)$ 的图象和函数 $g (x) = m + 2^{x}$ 的图象交于不同的两点A，B，若线段 $A B$ 的中点 $M$ 在直线 $y = \frac{1}{4}$ 上，则 $g (x)$ 的值域为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{1 - x} - 1 ， x < 1 \\ l n x + x - 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ， $g (x) = k x - k$ ， $k \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， 2)$ 上单调递增 B、当 $k = \frac{5}{4}$ 时，方程 $f (x) = g (x)$ 有且只有3个不同实根 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， + \infty)$ D、若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $(x - 1) (f (x) - g (x)) \leq 0$ 成立，则 $k \in [2 ， + \infty)$

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二、填空题

14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} ， x < 0 \\ \sqrt{x} ， x \geq 0 \end{array}$ ， $f (x)$ 的值域是，设 $g (x) = f (x) - a (x - 1)$ ，若 $g (x)$ 恰有两个零点，则a的取值范围为．

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15. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ，满足 $2 b c o s A + a = 2 c$ ，且 $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $2 a - c$ 的取值范围为.

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16. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 4 x^{2} ， x > 0 ， \\ 2^{x - 1} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的值域为.

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17. 函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+2g(x)=e^x ，若对任意x∈(0，2]，不等式f(2x)﹣mg(x)≥0成立，则实数m的取值范围是.

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18. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 6 ， x \leq 2 \\ 3 + \log_{a} x ， x > 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的值域是 $[4 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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19. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a x + 4 a^{3}$ ，已知 $f (x)$ 的极大值与极小值之和为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的值域为．

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20. 函数 $f (x) = \cos (\frac{2 π x}{n})$ ( $x \in Z$ )的值域有6个实数组成，则非零整数 $n$ 的值是.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则 $\frac{c}{a + b}$ 的取值范围是.

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22. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对于任意 $x \in D$ ，存在 $y \in D$ ，使 $\frac{f (x) - f (y)}{2} = C$ ( $C$ 为常数)成立，则称函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的“半差值”为 $C$ .下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为 $2$ 的函数是(填上所有满足条件的函数序号).① $y = e^{x} (x + 1)$ ；② $y = x^{3} - 1$ ；③ $y = \log_{2} x$ ；④ $y = \sin x$ .

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23. 若对 $\forall x \in [1, 2]$ ，都有 $a x^{2} - x \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

24.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为2．（14分）

（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）如图，该直线l：y=k₁x﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k₂ ，且看k₁k₂₌ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

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25. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥x²﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (x + \frac{π}{6}) c o s (x + \frac{π}{6}) + c o s^{2} (x - \frac{π}{3})$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程

(2)、求 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的值域.

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27. 设 $y = f (x) 、 y = g (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时， $δ (x_{1} ， x_{2}) = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{g (x_{1}) - g (x_{2})}$ .

(1)、已知 $y = g (x)$ 在区间 $I$ 上严格增，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in I ， x_{1} \neq x_{2}$ ，有 $δ (x_{1} ， x_{2}) > 0$ ，证明：函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是严格增函数；

(2)、已知 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} - 3 x$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时，有 $δ (x_{1} ， x_{2}) > 0$ ，若当 $x = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 取得极值，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知 $g (x) = s i n x ， f (\frac{π}{2}) = 1 ， f (- \frac{π}{2}) = - 1$ ，且对任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $g (x_{1}) \neq g (x_{2})$ 时，有 $| δ (x_{1} ， x_{2}) | \leq 1$ ，证明： $f (x) = s i n x$ .

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28. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\frac{1}{t a n B}$ ， $\frac{1}{s i n A}$ ， $\frac{1}{t a n C}$ 依次组成等差数列.

(1)、求 $\frac{a^{2}}{b c}$ 的值；

(2)、若 $b > c$ ，求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{a^{2}}$ 的取值范围.

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29. 已知 $△ A B C$ 的三个角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b c o s C + c c o s B = 6$ .

(1)、求边 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且________，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的取值范围.
要求：从① $A = \frac{π}{4}$ ， ② $b + c = 10$ 从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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30. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a - x^{2}}{2 x}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = a$ 有两个实数解，求a的最大整数值．

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31. 在 $△ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， a c o s B - 2 a c o s C = (2 c - b) c o s A$ .

(1)、若 $c = \sqrt{3} a$ ，求 $c o s B$ 的值；

(2)、若 $b = 1 ， ∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $A D$ 长度的取值范围.

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32. 已知半圆 $O$ 的直径 $A B = 2$ ，点 $C$ 为圆弧上一点（异于点 $A ， B$ ），过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $D$ .

(1)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、求 $\frac{| A C | + | C D |}{| A C | + | A D |}$ 的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = x - s i n x$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程；

(2)、证明： $2 e^{x} \cdot f (x) + c o s x \cdot e^{x} > 1$ ．

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34. 设函数 $f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x (x \in R)$ ．

(1)、若 $x \in [0 ， π]$ ，求函数 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $y = {[f (x)]}^{2}$ 在区间 $(- m ， m) (m > 0)$ 上单调递增，求实数m的取值范围．

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35. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\vec{m} = (a, b - c)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin B, \sin B + \sin C)$ ， $\vec{p} = (1, 2)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角C的值；

(2)、求 $\vec{n} \cdot \vec{p}$ 的最大值.

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