【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的定义域及其求法

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | x > 2}$ C、R D、 ${x | x \neq 2}$

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2. 设函数y= $\sqrt{4 - x^{2}}$ 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（　　）

A、（1，2） B、（1，2] C、（﹣2，1） D、[﹣2，1）

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3. 已知集合 $M = {x ∣ y = \sqrt{1 - x}} ， N = {x ∣ 0 < x < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x ∣ x < 2}$ D、 ${x ∣ x > 0}$

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4. 已知 $α \in R$ ，则函数 $f (x) = \frac{x^{α}}{e^{x} + 2}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = \sqrt{x} + l n (2 - x)$ 的定义域为（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $(0 ， 2)$

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6. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 3 ， x \leq 0 \\ {(x - 2)}^{2} ， 0 < x \leq a \end{array}$ 的定义域和值域的交集为空集，则正数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）（ $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

A、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{| x | - 2}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{| x | - 2}$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2} - 2^{| x |}}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{2} - 2^{| x |}}$

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8. 已知集合 $M = {x | y = l o g_{2} (2 x - 1)}$ ， $N = {x | \frac{x + 1}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 3)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 3]$

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (c o s 3 x) l n | 4 x |}{| 2 x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图像如图所示，则 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x} + e^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{x} - e^{- x}}$ C、 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{x} - e^{- x}}$ D、 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{- x} - e^{x}}$

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11. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A、 $y = l n x$ B、 $y = e^{x}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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12. 函数 $f (x) = \ln (2 x - 1) + \sqrt{x - x^{2}}$ 定义域为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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14. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \ln x$ 的定义域是．

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15. 函数 $y = \sqrt{7 + 6 x - x^{2}}$ 的定义域是.

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16. 函数 $y = \sqrt{3 - \frac{1}{x}}$ 的定义域为．

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17. 函数 $y = l g (x - 1) + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 4}}$ 的定义域为.

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18. 函数 $y = l g (2 - x)$ 的定义域是．

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19. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 1} + l g (2 - x)$ 的定义域是．

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20. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2^{x} - 1}}{| x | - 1}$ 的定义域为.

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21. 设函数f(x)＝ $\sqrt{a x^{2} ＋ b x ＋ c}$ (a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s、t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为．

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22. 函数 $f (x) = l n \frac{2^{x} - 4}{2^{x} + 1}$ 的定义域是.

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23. 函数 $f (x) = l o g_{2} (1 - x^{2})$ 的定义域为.

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24. 函数 $y = l g \frac{3 - 2^{x}}{3 + 2^{x}}$ 的定义域是.

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25. 函数 $y = l o g_{2} (x - 1)$ 的定义域是

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三、解答题

26. 已知函数 $p (x) = m^{x - 4} + 1$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）经过定点 $A$ ，函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $A$ .

(1)、求函数 $y = f (2 a - 2^{x})$ 的定义域与值域；

(2)、若函数 $g (x) = f (2 x^{λ}) \cdot f (x^{2}) - 4$ 在 $[\frac{1}{4} ， 4]$ 上有两个零点，求 $λ$ 的取值范围.

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27. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = \sqrt{| x + a | - a} - x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $a \neq 0$ ，且 $f (x) = a$ 有两个不同的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $h (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) ， g (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ ，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的取值范围.
条件①： $f (x) = h (x) + \sqrt{3} g (x)$ ；条件②： $f (x) = h (x) \cdot g (x)$ ；条件③： $f (x) = h (x) - g (x)$ .

注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.

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29. 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 $∠ O A B = θ$ ，五个正方形的面积和为S ．

(1)、求面积S关于 $θ$ 的函数表达式，并求定义域；

(2)、求面积S的最小值及此时 $\tan θ$ 的值．

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + k$ 的极大值为 $\frac{1 + e}{e}$ ，其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、求实数k的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{x}$ ，对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $g (x) \geq a f (x)$ 恒成立.
（i）求实数a的取值范围；

（ii）证明： $x^{2} f (x) > a \sin x + x^{2} - 1$ .

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31. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形 $A B C D$ 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 $m$ ，且 $\frac{A B}{A D} \geq \frac{1}{2}$ ，设 $∠ E O F = θ$ ，透光区域的面积为S.

(1)、S关于 $θ$ 的函数关系式，并求出定义域；

(2)、根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边AB的长度.

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32. 已知函数 $f (x) = 3 + \log_{2} x, x \in [1, 16]$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} + 2 f (x^{2})$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、求函数 $g (x)$ 的最值.

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33. 已知集合 $A = {x | y = \sqrt{\frac{2 x - 1}{x + 1} - 1}}$ ，集合 $B = {x | - 1 ⩽ x + a ⩽ 2}$ .

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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34. 某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 $A O B$ 进行改建.如图所示，平行四边形 $O M P N$ 区域为停车场，其余部分建成绿地，点 $P$ 在围墙 $A B$ 弧上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在道路 $O A$ 和道路 $O B$ 上，且 $O A =6 0$ 米， $∠ A O B = 60 °$ ，设 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、求停车场面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、当 $θ$ 为何值时，停车场面积 $S$ 最大，并求出最大值（精确到 $0.1$ 平方米）.

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35. 已知函数 $f (x) = (1 + \sqrt{3} \tan x) \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）若 $α$ 是第二象限角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的定义域和值域.

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