【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的连续性

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁ ， x₂∈[a，b]，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$ 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
②f（x²）在[1， $\sqrt{3}$ ]上具有性质P；
③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
④对任意x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄∈[1，3]，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}) \leq \frac{1}{4}$ [f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命题的序号是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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2. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处连续是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知函数 $f (x) = 1 - x^{2}$ ， $g (x) = m \sin (\frac{π}{6} x) + 2 - m (m > 0)$ ，若存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则m的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[1, 4)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 4)$

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4. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且对于任意的 $x_{1} < x_{2} < 0$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，若 $f (m) = f (- n) > 0 (m n < 0)$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $e^{m n} > \frac{| m | + | n | - \ln | m n |}{2}$ D、 $e^{m n} < \frac{| m | + | n | - \ln | m n |}{2}$

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5. 若对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，其图象是连续不断的，且存在常数 $λ (λ \in R)$ 使得 $f (x + λ) + λ f (x) ＝ 0$ 对任意实数 $x$ 都成立，则称 $f (x)$ 是一个“ $λ ～$ 特征函数”．下列结论中正确的个数为（）
① $f (x) ＝ 0$ 是常数函数中唯一的“ $λ ～$ 特征函数”；

② $f (x) ＝ 2 x + 1$ 不是“ $λ ～$ 特征函数”；

③“ $\frac{1}{3} λ ～$ 特征函数”至少有一个零点；

④ $f (x) ＝ e^{x}$ 是一个“ $λ ～$ 特征函数”．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 函数f(x)＝3^x＋ $\frac{1}{2}$ x－2的零点所在的一个区间是（）

A、(－2，－1) B、(－1，0) C、(0，1) D、(1，2)

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 1) x + a - 1, (x > 0) \\ - x^{2} + (2 - a) x, (x \leq 0) \end{array}$ 在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、[1,2] C、 $(\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(- \frac{1}{2}, 2]$

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8. 已知函数 f（x）=asinx+cosx ， $x \in (0, \frac{π}{6})$ ，若 $\exists x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(0, \sqrt{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$

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9. 已知定义在[﹣2，1]上的某连续函数y=f（x）部分函数值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
f（x）
﹣1.5
﹣1
0.8
2
有同学仅根据表中数据作出了下列论断：
①函数y=f（x）在[﹣2，1]上单调递增； ②函数y=f（x）在[﹣2，1]上恰有一个零点；
③方程f（x）=0在[﹣2，﹣1]上必无实根．④方程f（x）﹣1=0必有实根．
其中正确的论断个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} ， (x \neq 1) \\ a ， (x = 1) \end{matrix}$ 在x=1处连续，则a的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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11. 已知函数 $\{\begin{matrix} \frac{x^{2} + a x + b}{x^{2} + x - 2} ， (x > 1) \\ x + \frac{1}{3} ， (x \leq 1) \end{matrix}$ 在x=1处连续，则a+b=（　　）

A、1 B、-1 C、5 D、-5

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12. 函数f（x）= ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ ，点x=3是f（x）的（　　）

A、连续不可导点 B、可导不连续点 C、可导且连续点 D、非极值点

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13. 函数f（x）= $\{\begin{matrix} \frac{a x + b}{x - 1} ， x < 1 \\ 3^{x} + b ， x \geq 1 \end{matrix}$ 是连续函数，则a﹣b=（　　）

A、0 B、3 C、-3 D、7

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14. 函数f（x）= $\{\begin{matrix} \frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1} ， (x > 1) \\ m ， (x \leq 1) \end{matrix}$ ，在x=1处连续，则实数m=（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、- $\frac{1}{2}$

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15. “a=1”是“函数f（x）= $\{\begin{matrix} x^{2} ， x \leq 1 \\ 2 x + a^{2} - 2 ， x > 1 \end{matrix}$ 在x=1处连续的（　　）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16. 函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1} ， x > 1 \\ a x - 1 ， x \leq 1 \end{matrix}$ 在x=1处连续，则a的值为（　　）

A、5 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b - 1$ （ $a > 0$ 且 $b > - 1$ ）， $g (x) = x - 1$ .若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) g (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a + b =$ ； $\frac{a^{2} + 3}{a} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值是.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a^{x} (x \leq 0) \\ 3 a - x^{\frac{1}{2}} (x > 0) \end{array} (a > 0, 且 a \neq 1)$ 是R上的减函数，则a的取值范围是.

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19. 若定义在R上的函数 $y = f (x)$ ，其图像是连续不断的，且存在常数 $k (k \in R)$ 使得 $f (x + k) + k f (x) = 0$ 对任意实数x都成立，则称 $y = f (x)$ 是一个“k～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为.
① $f (x) = 3^{x}$ 是一个“k～特征函数”；② $f (x) = x - 3$ 不是“k～特征函数”；

③ $f (x) = 0$ 是常数函数中唯一的“k～特征函数”；④“ $\frac{1}{3}$ ～特征函数”至少有一个零点；

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 3) x - 1, & x \leq 1 \\ \frac{a x + 1}{x + a}, & x > 1 \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为.

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21. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} k x + k (1 - a^{2}) (x \geq 0) \\ x^{2} + (a^{2} - 4 a) x + {(3 - a)}^{2} (x < 0) \end{matrix}$ ，其中 $a \in R$ ，若对任意的非零实数 $x_{1}$ ，存在唯一的非零实数 $x_{2} (x_{2} \neq x_{1})$ ，使得 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ 成立， $k = f (a) =$ ．（并且写出 $a$ 的取值范围)

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22. 已知a＞0，a≠1，若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{4}{4 - x^{2}} - \frac{1}{2 + x} (x > - 2) \\ \log_{a} (- x) (x \leq - 2) \end{matrix}$ 在点x=﹣2处连续，则a=

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23. 若函数 $\{\begin{matrix} a x + 1 (x \geq 1) \\ \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 1} (x < 1) \end{matrix}$ 在点处连续，则实数a=

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24. 设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足 $f (x) = f (1 - \frac{1}{x + 2})$ 的所有x之和为

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25. 函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - {(x - 1)}^{2} ， (x < 1) \\ (3 - a) x + 4 a ， (x \geq 1) \end{matrix}$ 满足对任意x₁≠x₂都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则a的取值范围是

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26. 为使函数f（x）= $\frac{1 + x}{1 - x^{2}}$ 在x=﹣1处连续，则定义f（﹣1）=

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三、解答题

27. 设函数f（x）在x=0处可导，且f（0）=0，函数g（x）= $\{\begin{matrix} \frac{f (x)}{x} ， x \neq 0 \\ a ， x = 0 \end{matrix}$ ，试确定a的值，使g（x）在x=0处连续．

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28. 设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=ξ．

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29. （1）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数值恰好取一次？
（2）是否有闭区间上连续函数，使得每个函数恰好取二次？

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30. （1）试用ε﹣δ语言叙述“函数f（x）在点x=x₀处连续的定义；
（2）试证明：若f（x）在点x=x₀处连续，且f（x₀）＞0，则存在一个x₀的（x₀﹣δ，x₀+δ），在这个邻域内，处处有f（x）＞0．

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x	﹣2	﹣1	0	1
f（x）	﹣1.5	﹣1	0.8	2