【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数的周期性

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y) ， f (1) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) =$ （）

A、-3 B、-2 C、0 D、1

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2. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

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4. 已知函数 $f (x) = | s i n x |$ ， $g (x) = k x (k > 0)$ ，若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 图像的公共点个数为 $n$ ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $n = 1$ ，则 $k > 1$ B、若 $n = 3$ ，则 $\frac{2}{s i n 2 x_{3}} = x_{3} + \frac{1}{x_{3}}$ C、若 $n = 4$ ，则 $x_{1} + x_{4} > x_{2} + x_{3}$ D、若 $k = \frac{2}{2023 π}$ ，则 $n = 2023$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{6 s i n x c o s x}{2 c o s^{2} x + 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 对称 B、 $\frac{π}{2}$ 为 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减

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6. 下列函数中，最小正周期为 $π$ 的是（）

A、 $y = s i n x$ B、 $y = c o s 2 x$ C、 $y = c o s x$ D、 $y = s i n \frac{1}{2} x$

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7. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，且 $f (x - 1)$ 为奇函数， $f^{'} (2 - x) + f^{'} (x) = 2$ ， $f^{'} (- 1) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{25} f^{'} (2 i - 1) =$ （）

A、13 B、16 C、25 D、51

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) f (x) - f (x + 2) + f (x) + 1 = 0$ ，若 $f (1) > 0$ ，且对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，均有 $f (x + y) f (x - y) = [f (x) + f (y)] [f (x) - f (y)]$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $- 1 + \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $- 1 - \sqrt{2}$

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9. 若函数 $f (x)$ 满足： $\forall a ， b \in R ， 3 f (\frac{2 a + b}{3}) = 2 f (a) + f (b)$ ，且 $f (1) = 1 ， f (4) = 10$ ，则 $f (985) =$ （）

A、2953 B、2956 C、2957 D、2960

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10. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (2 + x) + 4 x$ ，函数 $f (2 x + 1)$ 的图象关于 $(0 ， 2)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 2)$ 对称 B、4是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (2) = 4$ D、 $f (2023) = - 4042$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，存在常数 $t (t > 0)$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + t) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， t)$ 时， $f (x) = | x - \frac{t}{2} |$ ．若 $f (x)$ 在区间 $(3 ， 4)$ 上单调递减，则t的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{5}$

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12. 若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 2$ ， $f (4 - x) + f (x) = 4$ ，设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f^{^{'}} (k + \frac{1}{2})] =$ （）

A、65 B、70 C、75 D、80

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13. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足：当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = - x^{3} + 3 x - 1$ ，且 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ．若关于x的方程 $f (x) = l o g_{a} (| x | + 1) (a > 1)$ 有8个实根，则a的取值范围为（）

A、 $(1 ， 6)$ B、 $(4 ， 6)$ C、 $(8 ， 10)$ D、 $(10 ， 12)$

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二、填空题

14. 函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 4) = f (x) (x \in R)$ ，且在区间 $(- 2 ， 2)$ 上 $f (x) = {\begin{cases} \cos \frac{π x}{2} ， 0 < x \leq 2 \\ | x + \frac{1}{2} | ， - 2 < x \leq 0 \end{cases}$ ，则 $f (f (15))$ 的值为

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15. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1) - 2$ 为奇函数，且 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，则 $f (2023) =$ .

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16. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (x + 2) = 1$ ， $f (x - 4) - g (x) = 3$ ．若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (- 1) = 0$ ，有四个结论① $g (1) = 1$ ；②4为 $g (x)$ 的周期；③ $g (x)$ 的图象关于 $(4 ， - 1)$ 对称；④ $g (2) = - 1$ ，正确的是（填写题号）．

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17. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 定义域均为 $R$ ，且 $f (x + 1) = - \frac{1}{2} f (x) + \frac{\sqrt{3}}{2} g (x)$ ， $g (x + 1) = - \frac{1}{2} g (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} f (x)$ ， $f (x) = f (5 - x)$ ， $g (365) = - \sqrt{3}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ .

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} ， a_{1} = 2 ， n \in N^{*}$ ，若 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $T_{10}$ ＝．

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19. 意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知 $F_{1} = 1$ ， $F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ （ $n \in N^{*}$ ，且n>2）.若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} ⋯ + a_{2023} =$ .；若 $F_{2024} = a$ ，则 $F_{1} + F_{2} + F_{3} ⋯ + F_{2022} =$ .

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20. 已知函数 $y = f (x)$ 的周期为8，且满足 $f (2 + x) = - f (2 - x)$ ，则 $f (6) =$ ．

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21. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) = f (x + 2) ， 0 \leq x < 4$ 时， $f (x) = \sqrt{4 - (x - 2)^{2}}$ ， $g (x) = f (x) - k_{n} x (n \in N^{*} ， k_{n} > 0)$ ．若函数 $g (x)$ 的图像与x轴恰好有 $2 n + 1$ 个不同的交点，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + k_{n}^{2} =$ ．

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22. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{3}{x} ， x > 0 \\ f (x + 3) ， x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 4) =$ ，若 $f (a) = f (- 2)$ ，则实数a的最大值为．

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23. 设向量 $\vec{a_{k}} = (s i n \frac{k π}{6} + c o s \frac{k π}{6} ， s i n \frac{k π}{6}) (k = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2022)$ ，则 $\vec{a_{0}} \cdot \vec{a_{1}} + \vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} + \vec{a_{2}} \cdot \vec{a_{3}} + ⋯ + \vec{a_{2021}} \cdot \vec{a_{2022}} =$ ．

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24. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = - 1$ ， $a_{n + 2} = {\begin{array}{l} a_{n + 1} - a_{n} (a_{n + 1} \geq a_{n}) ， \\ a_{n} - a_{n + 1} (a_{n + 1} < a_{n}) ， \end{array}$ $b_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{1000} =$ .

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三、解答题

25. 已知函数f(x)=sin²xsin2x.

(1)、讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

(2)、证明： $| f (x) | \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；

(3)、设n∈N*，证明：sin²xsin²2xsin²4x…sin²2ⁿx≤ $\frac{3^{n}}{4^{n}}$ .

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26. 已知定义域为D的函数 $y = f (x)$ ，其导函数为 $y^{'} = f^{'} (x)$ ，满足对任意的 $x \in D$ 都有 $| f^{'} (x) | < 1$ ．

(1)、若 $f (x) = a x + l n x$ ， $x \in [1 ， 2]$ ，求实数a的取值范围；

(2)、证明：方程 $f (x) - x = 0$ 至多只有一个实根；

(3)、若 $y = f (x)$ ， $x \in R$ 是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < 1$ ．

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27. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差大于零的等差数列，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{2}^{2} = a_{4} + 24$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} \sin a_{n} π (n 为奇数) \\ \cos a_{n} π (n 为偶数) \end{array}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{2021}$ .

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28. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

(1)、确定 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 图象的对称轴只有一条落在区间 $[0 ， a]$ 上，求a的取值范围．
条件①： $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ；

条件②： $f (x)$ 图象的一个对称中心为 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；

条件③； $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{6} ， - 1)$ ．

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29. 已知函数 f（x）＝a（|sinx|+|cosx|）﹣sin2x﹣1，a∈R．

(1)、写出函数 f（x）的最小正周期（不必写出过程）；

(2)、求函数 f（x）的最大值；

(3)、当a＝1时，若函数 f（x）在区间（0，kπ）（k∈N^*）上恰有2015个零点，求k的值．

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30. 已知命题p：函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + 2$ 有零点；命题q：函数 $f (x) = sin \frac{π}{2} x$ 区间 $(0, a)$ 内只有一个极值点 $.$ 若 $(￢ p) \land q$ 为真命题，求实数a的取值范围．

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31. 记函数 $f (x)$ 的定义域为D. 如果存在实数 $a$ 、 $b$ 使得 $f (a - x) + f (a + x) = b$ 对任意满足 $a - x \in D$ 且 $a + x \in D$ 的x恒成立，则称 $f (x)$ 为 $Ψ$ 函数.

(1)、设函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 1$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $Ψ$ 函数，并说明理由；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{1}{2^{x} + t}$ ，其中常数 $t \neq 0$ ，证明： $g (x)$ 是 $Ψ$ 函数；

(3)、若 $h (x)$ 是定义在 $R$ 上的 $Ψ$ 函数，且函数 $h (x)$ 的图象关于直线 $x = m$ （m为常数）对称，试判断 $h (x)$ 是否为周期函数？并证明你的结论.

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32. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的实数 $x$ ，存在非零常数 $t$ ，都有 $f (x + t) = - t f (x)$ 成立.

(1)、若函数 $f (x) = k x + 3$ ，求实数 $k$ 和 $t$ 的值；

(2)、当 $t = 2$ 时，若 $x \in [0 ， 2]$ ， $f (x) = x (2 - x)$ ，求函数 $f (x)$ 在闭区间 $[- 2 ， 6]$ 上的值域；

(3)、设函数 $f (x)$ 的值域为 $[- a ， a]$ ，证明：函数 $f (x)$ 为周期函数.

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33. 已知 $\vec{a} = (\sqrt{3} s i n x ， 2 c o s^{2} x)$ ， $\vec{b} = (2 c o s x ， 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 图象的对称中心坐标及其在 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 内的单调递增区间 $；$

(2)、若函数 $g (x) = f (\frac{π x}{4})$ ，计算 $g (1) + g (2) + g (3) + ⋯ + g (2023)$ 的值．

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34. 已知 ${a_{n}}$ 是由正整数组成的无穷数列．设 $q_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}}$ ，其中 $A_{n} = m a x {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}}$ ， $B_{n} = m i n {a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯}$ ，这里 $m a x {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}}$ 表示 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 这n个数中最大的数， $m i n {a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯}$ 表示 $a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯$ 中最小的数．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为 $2 ， 1 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 4 ， 3 ， ⋯$ ，是一个周期为 $4$ 的数列（即对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 4} = a_{n}$ ），写出 $q_{1}$ ， $q_{2}$ ， $q_{3}$ ， $q_{4}$ 的值；

(2)、设 $q$ 是正整数．证明： $q_{n} = \frac{1}{q}$ （ $n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ ）的充分必要条件为 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列；

(3)、证明：若 $a_{1} = 2$ ， $q_{n} = 2$ （ $n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ ），则 ${a_{n}}$ 的项只能是1或者2，且有无穷多项为 $1$ ．

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35. 设函数 $f (x) = s i n^{2} x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值与最小正周期；

(2)、求最小的正数 $a$ ，使得函数 $g (x) = f (x + a)$ ，在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增.

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