【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：奇偶性与单调性的综合

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 若定义在R的奇函数f(x)在 $(- \infty ， 0)$ 单调递减，且f(2)=0，则满足 $x f (x - 1) \geq 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1] \cup [3 ， + \infty)$ B、 $[- 3 ， - 1] \cup [0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， 0] \cup [1 ， 3]$

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2. 已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（ $l o g_{2} \frac{1}{5}$ ），b=f（log₂4.1），c=f（2^0.8），则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜b＜a D、c＜a＜b

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3. 已知函数f（x）=3^x﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^x ，则f（x）（　　）

A、是偶函数，且在R上是增函数 B、是奇函数，且在R上是增函数 C、是偶函数，且在R上是减函数 D、是奇函数，且在R上是减函数

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4. 已知函数f（x）=3^x﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^x ，则f（x）（　　）

A、是奇函数，且在R上是增函数 B、是偶函数，且在R上是增函数 C、是奇函数，且在R上是减函数 D、是偶函数，且在R上是减函数

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - l n (x + 1) - 1 ， x \geq 0 \\ 1 - \frac{1}{e^{x}} + l n (1 - x) ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (e^{x} - 2) + f (e^{2 x}) \leq 0$ ，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $[- l n 2 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - l n 2]$

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6. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (1 + 4^{x}) - \frac{1}{2} x$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上是减函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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7. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) + 2 c o s x = 0$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > s i n x$ ，则不等式 $f (x) + 2$ $c o s x > f (π - x)$ 的解集为（）

A、 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ D、 $(- \infty ， π)$

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8. 已知偶函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + e^{- x} + x$ 也是偶函数，若 $f (2 a - 1) < f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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9. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (e^{x}) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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10. 已知函数 $f (x)$ 同时满足性质：① $f (- x) = f (x)$ ；②当 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1)$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = c o s 4 x$ D、 $f (x) = l n (1 - | x |)$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} - a_{n} = {(- \frac{1}{2})}^{n}$ ，存在正偶数 $n$ 使得 $(a_{n} - λ) (a_{n + 1} + λ) > 0$ ，且对任意正奇数 $n$ 有 $(a_{n} - λ) (a_{n + 1} + λ) < 0$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）.

A、 $(- \frac{2}{3} ， 1]$ B、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}] ∪ [1 ， + \infty)$ C、 $(- \frac{3}{4} ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{2}{3}]$

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12. 函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $f (1) = 0$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup [2 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 2)$

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13. 已知函数 $f (x) = l g (| x | - 1) + 202 3^{x} + 202 3^{- x}$ ，则使不等式 $f (3 x) < f (x + 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{3} ， - \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$

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14. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (\frac{1}{2} - x)$ ， $g (1 + x)$ 均为奇函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (0) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (4)$

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二、填空题

15. 设函数f（x）=e^x+ae^-x（a为常数）。若f（x）为奇函数，则a=：若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{2^{x}}$ ，则不等式 $2 x f (x) - 3 < 0$ 的解集是．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 1 + {(s i n x - c o s x)}^{2}$ ，则不等式 $f (x^{2} - 2 x) + f (2 - x) > 0$ 的解集为．

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18. 幂函数 $f (x) = x^{m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $g (x) = x^{n}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，能够使 $y = f (x) - g (x)$ 是奇函数的一组整数m，n的值依次是．

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19. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ ，有 $f (- x) = f (x)$ 且 $x \geq 0$ ， $f (x) = e^{x} - e^{- x} - s i n 2 x$ ，则 $f (x) > f (\frac{π}{4})$ 的解集为．

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20. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上函数，且 $y = f (x - 2)$ 的图形关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x < 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ ，且 $f (- 3) = 0$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为.

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21. 设 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，已知 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减， $f (x + 1)$ 是奇函数，则使得不等式 $f (\log_{2} (x - 3)) + f (\log_{2} x) > 0$ 成立的 $x$ 取值范围为.

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22. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - \frac{2 x + a}{x + 1}$ ，则 $a =$ ，若 $f (| 1 - m |) > f (2 m)$ ，则实数m的取值范围是．

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23. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} + x^{2}$ ， $m = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $n = f (7^{- 0.1})$ ， $p = f (\log_{4} 25)$ ，则m，n，p的大小关系是.

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24. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义域为R的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则不等式 $f (2 x - 1) > f (x - 2)$ 的解集为．

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25. 设 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1 + b x}{1 - 2 x}$ 是定义在区间 $(- a, a)$ 上的奇函数，且为单调函数，则 $b^{a}$ 的取值范围是．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = l n | x | + a c o s x + b x$ ，其中 $a \geq 0$ ， $b \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x)$ 存在大于零的极值点，求b的取值范围．

(2)、若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{π}{2}]$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 与点 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处有相同的切线，求a的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = x^{2} - a x + 6$ .
（Ⅰ）若 $g (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值并写出 $g (x)$ 的增区间；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，当 $x > 1$ 时，求 $\frac{g (x)}{x - 1}$ 的最小值；

（Ⅲ）对任意的 $x_{1} \in [1, + \infty)$ ， $x_{2} \in [- 2, 4]$ ，不等式 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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28. 已知函数f（x）满足 $f (\log_{a} x) = \frac{a}{a^{2} - 1} (x - x^{- 1})$ （其中a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值为负数，求a的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{2^{x}}$ ．

(1)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递增；

(2)、求不等式 $f (2 x - 1) > f (x + 2)$ 的解集；

(3)、若 $\exists x_{1} \in [3.5 ， 4]$ ，对 $\forall x_{2} \in [0 ， + \infty)$ 使不等式 $l o g_{2} ({x_{1}}^{2} - 2 x_{1} - 4) \geq (| m | - 1) f (2 x_{2}) + | m | f (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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30. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且 $f (x) + g (x) = \frac{1}{2^{x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $2 g (x) + \frac{a}{2^{x}} - 1 - a \geq 0$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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31. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (9^{x} + 1) - x$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = 3^{f (x)}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上为增函数；

(2)、求使 $f (2 c o s^{2} θ - 3) - f (2 + s i n θ) < 0$ 成立的 $θ$ 的取值范围.

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32. 已知实数 $a$ 大于0，定义域为 $R$ 函数 $f (x) = \frac{3^{x}}{a} + \frac{a}{3^{x}} + 1$ 是偶函数.

(1)、求实数 $a$ 的值并判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (2 t - 1) \geq f (t - 2 m)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{b}{4^{x} + a} + 1$ 的定义域为R，其图像关于点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ 对称．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求 $f (\frac{1}{2023}) + f (\frac{2}{2023}) + ⋯ + f (\frac{2022}{2023})$ 的值；

(3)、若函数 $g (x) = f (x + \frac{1}{2}) + l o g_{4} \frac{2 + x}{2 - x}$ ，判断函数 $g (x)$ 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式 $g (2 t - 1) + g (t + 2) > 1$ ．

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34. 已知 $f (x) = \frac{2 x - m}{x^{2} + 1}$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数，把方程 $f (x) = \frac{1}{x}$ 称为函数 $f (x)$ 的特征方程，特征方程的两个实根 $α$ ， $β (α < β)$ 称为函数 $f (x)$ 的特征根.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求 $f (β) - f (α)$ 的表达式；

(3)、把函数 $f (x)$ 在 $[α ， β]$ 上的最大值记作 $f {(x)}_{m a x}$ ，最小值记作 $f {(x)}_{m i n}$ ，令 $g (m) = f {(m)}_{m a x} - f {(x)}_{m i n}$ ，若 $g (m) \leq λ (m^{2} + 8)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = 2^{| x |} - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .$

(1)、判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + \infty)$ 上的单调性（不必写出过程），并解不等式 $f (x + 2) > f (2 x - 1) .$

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