【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：奇偶函数图象的对称性

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R，记 $g (x) = f^{'} (x) .$ 若 $f (\frac{3}{2} - 2 x) ，$ $g (2 + x)$ 均为偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $g (- \frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (- 1) = f (4)$ D、 $g (- 1) = g (2)$

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2. 设函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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3. 函数 $y = \frac{\ln | x |}{x^{2} + 2}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数f(x)= $\frac{2^{x} - 2^{- x}}{| x + 1 | + | x - 1 |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数y= $2^{| x |}$ sin2x的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- x) - f (2 + x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{4039}{2}) + f (\frac{9}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + \frac{1}{4} ， (a < 0)$ ，其中 $A_{i} (x_{i} ， y_{i}) ， i = 0 ， 1 ， 2 ， 3$ 是其图象上四个不重合的点，直线 $A_{0} A_{3}$ 为函数 $f (x)$ 在点 $A_{0}$ 处的切线，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(0 ， \frac{1}{4})$ 中心对称 B、函数 $f (x)$ 的极大值有可能小于零 C、对任意的 $x_{1} > x_{0} > 0$ ，直线 $A_{0} A_{3}$ 的斜率恒大于直线 $A_{0} A_{1}$ 的斜率 D、若 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ 三点共线，则 $x_{1} + x_{2} = 2 x_{0}$ .

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8. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 与 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称，则（）

A、 $g [f (- 1)] = g [f (1)]$ B、 $f [g (3)] = f [g (- 1)]$ C、 $f [g^{'} (3)] = f [g^{'} (- 1)]$ D、 $g [f^{'} (- 1)] = g [f^{'} (1)]$

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9. 函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (4 - x) = 4 ， g (x) - f (x - 8) = 8$ ， $g (x)$ 关于 $x = 4$ 对称， $g (4) = 8$ ，则 $\sum_{m = 1}^{18} f (2 m)$ 的值为（）

A、-24 B、-32 C、-34 D、-40

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10. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (2 x + 1)$ 的一个周期为2，则（）

A、1为 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 对称 C、 $f (2023) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为偶函数且 $f (x) + f (x + 2) = 3$ ， $g (x) + g (10 - x) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{9} [f (i) + g (i)] =$ （）

A、21 B、22 C、 $\frac{45}{2}$ D、 $\frac{47}{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (x + 3) = g (- x) + 4$ ， $f^{'} (x) + g^{'} (1 + x) = 0$ ，且 $g (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、 $g^{'} (1) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f^{'} (k) g^{'} (k) = 1$

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13. 已知 $f^{'} (x) ， g^{'} (x)$ ，分别是定义在R上的函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的导函数， $f (x + 1) - g (3 - x) = 3$ ， $f^{'} (x - 2) = g^{'} (x + 2)$ ，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，则（）

A、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 4$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称 C、 $\sum_{k = 1}^{2025} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2025} g (k) = 0$

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14. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ．若 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数． $y = f (x)$ 的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列．将函数 $f (x)$ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $f (\frac{π}{3}) + g (\frac{π}{3})$ （）

A、0 B、－2 C、1 D、－1

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15. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 是周期为2的函数 C、 $f (- 1) = 0$ D、 $f (\frac{7}{2}) = \frac{1}{4}$

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二、填空题

16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 $[\begin{array}{l} 0 ， 1 \end{array}]$ 上，其解析式如下： $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p} ， x = \frac{q}{p} (p ， q 互质， p > q) \\ 0 ， x = 0 、 1 或 [0 ， 1] 上的无理数 \end{array}$ ，定义在实数集上的函数 $f (x) ， g (x)$ 满足 $f (- x) = 5 - g (2 + x) ， g (x) = 9 + f (x - 4)$ ，且函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $g (2) = 2$ ，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (2022) + f (- \frac{2023}{6}) =$ .

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17. 写出一个同时满足下列三个条件的函数 $f (x)$ 的解析式.
① $f (1 + x) = f (1 - x)$ ；② $f (\frac{3}{2} + x) = - f (\frac{3}{2} - x)$ ；③ $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递增.

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18. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = - f (x)$ ，且当 $x > \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x} + m$ ，若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n π x}{x^{2} - x + 1}$ ，下面四个结论：① $f (x)$ 的图象是轴对称图形；② $f (x)$ 的图象是中心对称图形；③ $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上单调；④ $f (x)$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ ．其中正确的有．

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20. 函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2$ 的对称轴方程为.

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21. 设函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 (x - x^{2})$ ， $f_{3} (x) = \frac{1}{3} | s i n 2 π x |$ ，取 $t_{i} = \frac{i}{2019}$ ， $i = 0 ， 1 ， 2 ， ⋯ ， 2019$ ， $S_{k} = | f_{k} (t_{1}) － f_{k} (t_{0}) | + | f_{k} (t_{2}) － f_{k} (t_{1}) | + ⋯ + | f_{k} (t_{2019}) - f_{k} (t_{2018}) |$ ， $k = 1 ， 2 ， 3$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的大小关系为.（用“<”连接）

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22. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 4) = - f (x)$ ，且在区间 $[0 ， 2]$ 上是增函数，若方程 $f (x) = m (m > 0)$ 在区间 $[- 8 ， 8]$ 上有四个不同的根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} =$ .

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23. 已知定义在R上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + π) = - f (x)$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则方程 $(x - π) f (x) = 1$ 在区间 $[- π ， 3 π]$ 上所有的实数解之和为．

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24. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ．且当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = \log_{3} (a - x)$ ．若对于任意 $x \in [- 1 ， 0]$ ，都有 $f (x^{2} - t x - \frac{1}{3}) \geq 1 - \log_{3} 5$ ，则实数 $t$ 的取值范围为．

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25. 设函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (- x) = f (x) ， f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时 $f (x) = x^{3}$ ，又函数 $g (x) = | x \cos (π x) |$ ，则函数 $h (x) = g (x) - f (x)$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 上的零点个数为.

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三、解答题

26. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a sin B - b cos A = 0$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）已知函数 $f (x) = \frac{1}{x - t}$ ，且方程 $f (\sin B) + f (\sqrt{3} \cos B) = 0$ 有解，求实数t的取值范围．

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27. 乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是 $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} s i n 2 x$ ，该函数我们可以看作是函数 $y = s i n x$ 与 $y = \frac{1}{2} s i n 2 x$ 相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究 $f (x)$ 的函数性质．

(1)、求出 $f (x)$ 的最小正周期并写出 $f (x)$ 的所有对称中心；

(2)、求使 $f (x) \geq 0$ 成立的x的取值集合；

(3)、判断 $x \in [- 2 π ， 2 π]$ ，函数 $g (x) = f (x) - \frac{1}{4}$ 零点的个数，并说明理由．

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28. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $P (a ， b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，

(1)、求函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的对称中心；

(2)、已知 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ ， $g (x) = m x + 1 - 2 m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [2 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [2 ， 3]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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29. 已知函数 $f (x) = l n (\frac{a x}{x + 1} - b)$ （ $a > b$ ， $a \neq 0$ ）的图象关于原点对称．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、①判断 $f (e^{x})$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性（只写出结论即可）；
②若关于 $x$ 的方程 $f (e^{x}) + l n (m + 3) - x = 0$ 在区间 $(0 ， l n 5]$ 上有两个不同的解，求实数 $m$ 的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = \ln (\frac{a x}{x + 1} - b)$ （其中 $a ， b \in R$ 且 $a \neq 0$ ）的图象关于原点对称．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值

(2)、当 $a > 0$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (e^{x}) - x + \ln k = 0$ 在区间 $(0 ， \ln 4]$ 上有两个不同的解，求实数 $k$ 的取值范围．

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31. 如果函数 $f (x)$ 满足：对定义域内的所有 $x$ ，存在常数 $a$ ， $b$ ，都有 $f (2 a - x) + f (x) = 2 b$ ，那么称 $f (x)$ 是“中心对称函数”，对称中心是点 $(a, b)$ .

(1)、证明点 $(0, 1)$ 是函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x}$ 的对称中心；

(2)、已知函数 $g (x) = \log_{m} \frac{x - k}{x + 2}$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ， $k > 0$ ）的对称中心是点 $(0, 0)$ .
①求实数 $k$ 的值；

②若存在 $2 < α < β$ ，使得 $g (x)$ 在 $[α, β]$ 上的值域为 $[\log_{m} m (β - 1), \log_{m} m (α - 1)]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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32. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (0) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (- x) = {log}_{\frac{1}{2}} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (x^{2} - 1) > - 2$ .

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33. 设函数 $f (x) = a^{2 x} + m a^{- 2 x} (a > 0 ， a \neq)$ 是定义在R上的奇函数.
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若 $f (1) = \frac{15}{4}$ ，且 $g (x) = f (x) - 2 k f (\frac{x}{2}) + 2 a^{- 2 x}$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为2，求实数k的取值范围.

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34. 已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ 过点 $(1 ， 2)$ ，函数 $g (x) = x \cdot \frac{f (x) - 1}{f (x) + 1}$ .

(1)、求 $g (1)$ ， $g (- 1)$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x)$ 在 $R$ 上的奇偶性，并给出证明；

(3)、已知 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是单调函数，由此判断函数 $y = g (x)$ ， $x ∈ R$ 的单调性（不需证明），并解不等式 $g (2 x + 1) > \frac{1}{3}$ .

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35. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

(1)、补充完整图象并写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的增区间；

(2)、写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(3)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a x + 1 (x \in [1 ， 2])$ ，求函数 $g (x)$ 的最小值．

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