【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数奇偶性的判定3

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 。若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ （）

A、-50 B、0 C、2 D、50

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3. 已知 $f (x)$ 是定义为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ 。若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (50) =$ （）

A、-50 B、0 C、2 D、50

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4. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）= $\frac{1}{2}$ （|x﹣a²|+|x﹣2a²|﹣3a²），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）

A、[ $- \frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{6}$ ] B、[ $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ] C、[ $- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ] D、[ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ]

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5. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ ，对于任意的 $x ， y \in R$ 恒有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，若存在正数t，使得 $f (t) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f^{2} (\frac{t}{2}) = 2$ C、 $f (x)$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 为周期函数

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6. 已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，且满足 $f (1) + f (2) = 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) =$ （）

A、 $- 2023$ B、0 C、2 D、2023

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7. 函数 $f (x) = (\frac{1}{3^{x} + 1} - \frac{1}{2}) l n | x |$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (2 x + \frac{π}{3}) + c o s (2 x + \frac{π}{3})$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{17 π}{24} ， 0)$ 对称 D、当 $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 时， $g (x)$ 的取值范围为 $[- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$

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9. 若函数 $f (x) = x c o s x$ 在区间 $[l n a ， l n \frac{1}{a}]$ 上的最小值为 $m$ ，最大值为 $M$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $m + M = 0$ B、 $m M = 0$ C、 $m M = 1$ D、 $m + M = 1$

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10. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} + a + b ， 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ \frac{b x - 1}{x + 1} ， \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{array}$ （ $e$ 为自然对数的底数），则下列结论正确的有（）

A、 $a + b = - 1$ B、 $a - b = - 3$ C、 $f (x)$ 不是周期函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $4 π$ B、对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 5 π]$ 上恰好有三个零点 D、函数 $f (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数

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12. 对于函数 $f (x) = e^{x} + a l n x (a \in R)$ ，有下列四个论断：
① $f (x)$ 是增函数② $f (x)$ 是奇函数③ $f (x)$ 有且仅有一个极值点④ $f (x)$ 的最小值为 $e$

若其中恰有两个论断正确，则 $a =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- e$ D、 $e$

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13. 若函数 $f (x) = x (2^{x} - 2^{- x})$ ，设 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = l o g_{4} \frac{1}{3}$ ， $c = l o g_{5} \frac{1}{4}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (a) < f (c) < f (b)$ C、 $f (b) < f (a) < f (c)$ D、 $f (c) < f (a) < f (b)$

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14. 函数 $y = | x - c o s x | s i n x$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

15. 已知函数f（x）=x²^﹣^m是定义在区间[﹣3﹣m，m²﹣m]上的奇函数，则f（m）= ．

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16. 函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ﹣log₂ $\frac{1 + a x}{1 - x}$ 为奇函数，则实数a= ．

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17. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = \frac{1}{f (x)}$ ，给出给出下列四个结论：
① $f (0) = 1$ 或 $- 1$ ；
② $f (x)$ 一定不是偶函数；
③若 $f (x) > 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
④若 $f (x)$ 有最大值，则 $f (x)$ 一定有最小值．
其中，所有正确结论的序号是．

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18. 设函数 $f (x)$ 的定义域为I，如果 $\forall x \in I$ ，都有 $- x \in I$ ，且 $f (- x) = f (x)$ ，已知函数 $f (x)$ 的最大值为2，则 $f (x)$ 可以是．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，
则（ⅰ） $f (f (x))$ =；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数 $f (x)$ 是偶函数；
②存在 $x_{i} \in R (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，使得以点 $(x_{i} ， f (x_{i})) (i = 1 ， 2 ， 3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在 $x_{i} \in R (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，使得以点 $(x_{i} ， f (x_{i})) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是.

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20. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数． $t a n h$ 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 $f (x) = \frac{2}{1 + e^{- 2 x}} - 1$ ．关于 $t a n h$ 函数的以下结论
① $t a n h$ 函数是增函数；
② $t a n h$ 函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数 $y = | f (x) | - a x - 1$ 至少有一个零点；
④曲线 $y = f (x)$ 不存在与直线 $x + \sqrt{2} y = 0$ 垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是．

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21. 同时满足性质：① $f (x) - f (- x) = 0$ ；② $f (x y) = f (x) f (y)$ ；③当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ 的函数 $f (x)$ 的一个解析式为.

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22. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，且 $f (1) = - 2$ ，则不等式 $2^{x} f (x) + 1 < 2^{x + 2}$ 的解集是．

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23. 设函数 $f (x) = l o g_{a} (| x | + 1) (a > 1)$ ，则 $f (x)$ 是（填“奇函数”或“偶函数”）；对于一定的正数T，定义 $f_{T} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) < T ， \\ - f (x) ， f (x) \geq T ， \end{array}$ 则当 $T = \frac{1}{a}$ 时，函数 $f_{T} (x)$ 的值域为．

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24. 写出一个最小正周期为 $4 π$ 的奇函数： $f (x) =$ .

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三、解答题

25. 设常数a≥0，函数f（x）= $\frac{2^{x} + a}{2^{x} - a}$ ．

(1)、若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣¹（x）；

(2)、根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

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26. 已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1} (a \in R)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数

(1)、求a值：

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性？

(3)、求不等式 $f (x^{2} - 2 x) + f (x - 6) > 0$ 的解集

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27. 已知函数 $f (x) = l n x$ ．

(1)、若m＝f（3），n＝f（4），求 $e^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x - 2) < 2$ 的解集；

(3)、记函数 $F (x) = f (\frac{x - 1}{x + 1})$ ，判断 $F (x)$ 的奇偶性并证明．

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28. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} \frac{2 + x}{2 - x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、求函数的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(3)、已知函数 $f (x) \geq 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是减函数；

(3)、写出函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1]$ 上的单调性（结论不要求证明）．

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30. 悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为 $f (x) = a e^{x} + b e^{- x} (a ， b$ 是非零常数，无理数 $e = 2.71828 ⋯)$ .

(1)、当 $a = 1 ， b = - 1$ 时，判断 $f (x)$ 的奇偶性并说明理由；

(2)、如果 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，请写出一组符合条件的 $a ， b$ 值；

(3)、如果 $f (x)$ 的最小值为2，求 $a + b$ 的最小值.

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31. 已知函数 $f (x) = l n (1 - c o s 2 x) + c o s (x + θ) ， θ \in [0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求 $θ$ 的值；

(3)、是否存在 $θ$ ，使得函数 $f (x)$ 是奇函数？若存在，求出 $θ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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32. 已知函数 $f (x) = l n \frac{x + 1}{1 - x}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明你的结论；

(2)、在 $f (x) > 0$ 的条件下，求函数 $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x + 1}$ 的最小值.

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33. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} (x + 4) - l o g_{3} (- x + 4)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并予以证明；

(3)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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34. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} \frac{x + 3}{x - 3}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x + 3)$ 在区间 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

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35. 已知函数 $f (x) = l g (2 + x) - l g (2 - x)$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时，求 $f (x)$ 的值域．

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