【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数奇偶性的判定2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y²f(x)+x²f(y)，则（）

A、f(0)=0 B、f(1)=0 C、f(x)是偶函数 D、x=0为f(x)的极小值点

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2. 已知函数 $y = 2 a x^{3}$ （ $a > 0$ ），则此函数是（）

A、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减 B、偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增 C、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减 D、奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增

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3. 设函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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4. 设函数f(x)= $\frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、f(x-1)-1 B、f(x-1)+1 C、f(x+1)-1 D、f(x+1)+1

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5. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）

A、 $y = 0$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = 2^{x}$

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6. 某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（）

A、 $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$ B、 $y = \frac{2 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $y = \frac{2 c o s x}{x^{2} + 1}$ D、 $y = \frac{- x^{3} + s i n x}{x^{2} + 1}$

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7. 定义在R上的函数 $f (x)$ 同时满足：① $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， ② $f (- 1 + x) + f (- 1 - x) = 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (1 + x)$ 为奇函数 B、 $(x - 1) f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2) + f (6) = 0$ D、函数 $f (x)$ 的周期 $T = 4$

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8. 关于函数 $f (x) = c o s x + a s i n x (a \neq 0)$ 有以下四个选项，正确的是（）

A、对任意的a， $f (x)$ 都不是偶函数 B、存在a，使 $f (x)$ 是奇函数 C、存在a，使 $f (x + π) = f (x)$ D、若 $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $a = 1$

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9. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 10 = 0$ ， $f (x) - g^{'} (4 - x) - 10 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $f (2) = 10$ B、 $f （ 4 ） = 10$ C、 $f^{^{'}} (- 1) = f^{^{'}} (- 3)$ D、 $f^{'} (2023) = 0$

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10. 函数 $f (x) = x l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{s i n | x |} + e^{| s i n x |}$ 是偶函数 B、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 2 a x + 1 < 0$ ”是假命题，则 $- 1 \leq a \leq 1$ C、设 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x ≥ 1$ ，且 $y \geq 1$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 2$ ”的必要不充分条件 D、 $\exists a b > 0$ ， $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b - a}$

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12. 已知 $f (x) = \frac{e^{2 x} + 1}{a e^{x}}$ ， $g (x)$ 为 $f (x)$ 导函数， $a \in R$ ， $a \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、当 $a \leq 2$ 且 $a \neq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ 恒成立 C、 $\frac{g (x)}{f (x)}$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $f (x)$ 与曲线 $y = \frac{e^{x}}{a}$ 无交点

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13. 已知函数 $f (x) = s i n^{3} x + c o s^{3} x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、当 $s i n x + c o s x = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = \frac{11}{16}$ C、 $f (x)$ 的最大值是1 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = (a x - x^{2}) (x^{2} + b x + 4)$ 满足 $f (4 - x) - f (x) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (2 - x)$ 是奇函数 B、函数 $f (3 x + 2)$ 是偶函数 C、函数 $f (s i n (x + 2))$ 是周期函数 D、若函数 $f (x)$ 有4个零点，则函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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二、填空题

15. 已知函数f(x)= $x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，则a=

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = \ln 2 - f (- x)$ ，函数 $g (x) = f (x) + \frac{2 \sin x}{\cos x + π}$ ，若 $g (e^{a}) = \ln \frac{1}{2} (a \in R)$ ，则 $g (- e^{a}) =$ ．

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17. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ .当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - x$ ，则不等式 $f (x) \leq x$ 的解集用区间表示为.

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (x + 2) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [- 2 ， 0]$ 时， $f (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x} - 1$ ，若在 $(- 2 ， 6)$ 内关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log (x + 2) = 0$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）有且只有 $4$ 个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19. 已知六个函数：① $y = \frac{1}{x^{2}}$ ；② $y = \cos x$ ；③ $y = x^{\frac{1}{2}}$ ；④ $y = \arcsin x$ ；⑤ $y = \lg (\frac{1 + x}{1 - x})$ ；⑥ $y = x + 1$ ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

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20. 已知 $f （ x ）$ 为奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f （ x ） = x^{2} - 3 x$ ，则曲线 $y = f （ x ）$ 在点 $（ 1 ， - 4 ）$ 处的切线方程为.

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21. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (\sqrt{x^{2} + a} - x)$ 是奇函数，则 $f (- \frac{3}{4}) =$ ．

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22. 设函数 $f (x)$ 、 $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ，若对 $x \in [1 ， 2]$ ，不等式 $a f (x) + g (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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23. 已知 $f (x) = x^{3} (e^{x} + e^{- x}) + 6$ , $f (a) = 10$ ,则 $f (- a) =$ .

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24. 定义函数 $f (x) = max {λ x, - λ x}$ ， $x \in R$ ，其中 $λ > 0$ ，符号 $max {a, b}$ 表示数 $a, b$ 中的较大者，给出以下命题：① $f (x)$ 是奇函数；②若不等式 $f (x - 1) + f (x - 2) \geq 1$ 对一切实数 $x$ 恒成立，则 $λ \geq 1$ ③ $λ = 1$ 时， $F (x) = f (x) + f (x - 1) + f (x - 2) + \dots + f (x - 100)$ 最小值是2450④“ $x y > 0$ ”是“ $f (x) + f (y) \geq f (x + y)$ ”成立的充要条件，以上正确命题是．（写出所有正确命题的序号）

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25. f（x）= $\frac{k - 2^{x}}{1 + k \cdot 2^{x}}$ 在定义域上为奇函数，则实数k= ．

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三、解答题

26. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{1 + 2^{x}} + a$

(1)、若 $\frac{1}{a} = (t a n 10 ° - \sqrt{3}) \frac{c o s 10 °}{s i n 50 °}$ ，证明 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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27. 已知函数 $f (x) = l g (x + 1) ， g (x) = l g (1 - x) ， h (x) = f (x) + g (x)$ .

(1)、判断函数 $h (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $y = f (x) - l g \frac{k}{x}$ 在区间 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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28. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} | s i n x |$ ．

(1)、求函数的定义域和值域；

(2)、判断函数的奇偶性；

(3)、判断函数的周期性，若是周期函数，求其最小正周期；

(4)、写出函数的单调区间．

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29. 已知 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{a x + b}$ （ $a$ ， $b$ 为常数，且 $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ），满足 $f (2) = 1$ ，方程 $f (x) = x$ 有唯一解．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式

(2)、如果 $f (x)$ 不是奇偶函数，证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， + \infty)$ 上是增函数．

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31. 已知函数 $f (x) = l g \frac{a - x}{1 + x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $a$ 的值

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 5]$ 内有意义，求 $a$ 的取值范围

(3)、在（1）的条件下，若 $f (x)$ 在区间 $(m ， n)$ 上的值域为 $(- 1 ， + \infty)$ ，求区间 $(m ， n)$

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32. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $y$ 轴右边的一部分图象如图所示．

(1)、判断函数奇偶性并证明，作出函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $y$ 轴左边的图象．

(2)、判断函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上的单调性，并用单调性定义加以证明．

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33. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并进行证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并进行证明；

(3)、若实数a满足 $\frac{2}{3} f (l o g_{3} a) - \frac{1}{3} f (l o g_{\frac{1}{3}} a) + f (- 1) \leq 0$ ，求实数a的取值范围．

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34. 已知 $f (x) = l o g_{2} | a + \frac{1}{x - 1} | + b$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值．

(2)、判断 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上的单调性，并用定义加以证明．

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35. 已知 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - k x$ 为偶函数．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、解不等式 $f (2^{x} - 1) < l o g_{2} 5 - 1$ ；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $[f (x)]^{2} - m f (x) + 4 = 0$ 有4个不相等的实根，求 $m$ 的取值范围．

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