【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：函数奇偶性的判定1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

查看试题解析
2. 函数 $f (x) = \frac{1}{(x - 1) l n | x |}$ 的大致图象是（）．

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

查看试题解析
4. 若函数 $g (x)$ 为函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，且对于任意实数 $x_{0}$ ，均有 $2 f^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) + g (x_{0})$ ，且 $g (x_{0}) > f (x_{0})$ ，则（）

A、函数 $y = g (x)$ 不可能为奇函数 B、存在实数M，使得 $f (x) \leq M$ C、存在实数N，使得 $f (x) \geq N$ D、函数 $y = f (x)$ 不存在零点

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = x c o s x + (s i n x) l n | x |$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x + 2}$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x - 1)$ 为奇函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为偶函数

查看试题解析
7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} s i n 2 x}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4 | x |}{x^{2} + 4}$ 的定义域是 $[a ， b]$ （ $a$ ， $b \in Z$ ），值域为 $[0 ， 1]$ ，则满足条件的整数对 $(a ， b)$ 可以是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

查看试题解析
9. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k)$ （）

A、-2023 B、-2022 C、2022 D、2023

查看试题解析
10. 已知定义在 $R$ 上且不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ ，若对任意的 $x ， y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ C、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2) + f (2^{2}) + f (2^{3}) + ⋯ + f (2^{n}) = (n + 1) 2^{n} - 2$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $\frac{f (\frac{1}{2})}{1} + \frac{f ({(\frac{1}{2})}^{2})}{2} + \frac{f ({(\frac{1}{2})}^{3})}{3} + ⋯ + \frac{f ({(\frac{1}{2})}^{10})}{10} = - \frac{1023}{1024}$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (- x) = f^{'} (x) ， f (2 x) + f (2 - 2 x) = 3$ ，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $f (1 - x) + f (1 + x) = 3$ B、 $f^{'} (2 - x) = f^{'} (2 + x)$ C、 $f^{'} (f (1 - x)) = f^{'} (f (1 + x))$ D、 $f (f^{'} (x + 2)) = f (f^{'} (x))$

查看试题解析
12. 函数 $f (x) = x^{3} l n \frac{e + c o s x}{e - c o s x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
13. 函数 $f (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) s i n x}{2^{x} + 2^{- x}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
14. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = - f (2 - x)$ ， $f (x + 3) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为2 B、 $f (x + 2)$ 为偶函数 C、 $f (0) = 0$ D、 $f (1) = 0$

查看试题解析
15. 在下列函数中，为偶函数的是（）

A、 $f (x) = x - c o s x$ B、 $f (x) = x c o s x$ C、 $f (x) = l n | x |$ D、 $f (x) = \sqrt{x}$

查看试题解析

二、填空题

16. 若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x ， y \in R$ ， $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (0) = 1$ ，则满足上述条件的函数 $f (x)$ 可以为.（写出一个即可）

查看试题解析
17. 若函数 $y = l n (1 + x) - a l n (1 - x)$ 为奇函数，则实数a的值为．

查看试题解析
18. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = 1$ ， $g (2 - x) + g (x) = 0$ ，则以下命题：① $g (x)$ 是偶函数；② $g (1) = 0$ ；③ $f (x)$ 的图象的一条对称轴是 $x = 2$ ；④ $\sum_{i = 1}^{2022} f (i) = 1$ ，其中正确的序号是．

查看试题解析
19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - x$ ，数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列，若 $a_{1} f (a_{1}) + a_{2} f (a_{2}) + a_{3} f (a_{3}) + a_{4} f (a_{4}) = 0$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

查看试题解析
20. 能说明“存在 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ ， f（x）不是偶函数”为真命题的一个函数为.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{- x} - e^{x}$ ，若函数 $h (x) = f (x - 4) + x$ ，则函数 $h (x)$ 的图象的对称中心为；若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{11} = 44$ ， $h (a_{1}) + h (a_{2}) + ⋯ + h (a_{11}) =$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，若 $f (a - 2) + f (a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
23. 写出一个满足 $f (x) = f (2 - x)$ 的奇函数 $f (x) =$ .

查看试题解析
24. 已知函数 $f (x) = \sin (\cos x) + \cos (\cos x)$ ，现有以下命题：
① $f (x)$ 是偶函数； ② $f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期的周期函数；

③ $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称； ④ $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ．

其中真命题有．

查看试题解析
25. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为4，则 $a =$ ．

查看试题解析

三、解答题

26. 已知 $f (x) = x \sin x + \sin (x + \frac{π}{2})$

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调性；

(2)、设 $g (x) = x^{2} + 4 - 4 f (x)$ ，试判断 $g (x)$ 在R上的零点个数，并说明理由.

查看试题解析
27. 设函数 $f (x) = \lg (1 - \cos 2 x) + \cos (x + θ)$ ， $θ \in [0 ， \frac{π}{2})$

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、设 $θ > 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (\frac{π}{4} + x) - f (\frac{3 π}{4} - x) < 0$ .

查看试题解析
28. 设 $f (x) = \frac{a + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ ，其中常数 $a \in R$ .

(1)、设 $a = 0$ ， $D = (1, + \infty)$ ，求函数 $y = f (x)$ ( $x \in D$ )的反函数；

(2)、求证：当且仅当 $a = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 为奇函数.

查看试题解析
29. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}} (a > 0)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

查看试题解析
30. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}}$ 其中 $a$ 为实常数.

(1)、若 $f (0) = 7$ ，解关于 $x$ 的方程 $f (x) = 5$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由.

查看试题解析
31. 已知函数f（x）=log_ax（a>0，且a≠1），且f（2）=1

(1)、求a的值，并写出函数f（x）的定义域；

(2)、设g（x）=f（2-x）-f（2+x），判断g（x）的奇偶性，并说明理由：

(3)、若不等式f(t·9^x）≥f(3^x-t)对任意x∈[1，2]恒成立，求实数t的取值范围。

查看试题解析
32. 设 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + b}$ （a，b为实常数）．

(1)、当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；

(2)、设f（x）是奇函数，求a与b的值；

(3)、当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c²﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
33. 已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的图象经过点 $(1 ， \frac{1}{3})$ .

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域；

(3)、证明：函数 $f (x)$ 是奇函数．

查看试题解析
34. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 + 2 x) ， g (x) = l o g_{a} (3 - 2 x) ， (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x) - g (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x) - g (x)$ 的奇偶性(并予以证明)；

(2)、求使 $f (x) - g (x) > 0$ 的x的取值范围．

查看试题解析
35. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、解方程 $f (x) = - \frac{7}{18}$ ；

(3)、若对任意的 $x ∈ R$ ，不等式 $f (4^{x} - 2^{x + 1} + 3) + f (2^{2 x + 1} - k 2^{x}) < 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

查看试题解析