【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：偶函数2

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 若 $f (x) = (x + a) l n \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ 为偶函数，则a=（）

A、-1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

查看试题解析
2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (- \frac{1}{2}) = 0$ B、 $f (- 1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (4) = 0$

查看试题解析
3. 函数 $f (x) = \cos x - \cos 2 x$ ，试判断函数的奇偶性及最大值（）

A、奇函数，最大值为2 B、偶函数，最大值为2 C、奇函数，最大值为 $\frac{9}{8}$ D、偶函数，最大值为 $\frac{9}{8}$

查看试题解析
4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以 $5$ 为周期的偶函数，若 $f (- 1) > - 6$ ， $f (2021) = \frac{3 - a}{2 a - 4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{21}{11})$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{21}{11}) \cup (2, + \infty)$ D、 $(\frac{21}{11}, 2)$

查看试题解析
5. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = | \sqrt{1 + \sin 2 x} - \sqrt{1 - \sin 2 x} |$ ，则（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x)$ C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、不等式 $f (x) \geq 2 \cos x$ 的解集为 ${x ∣ \frac{π}{4} + 2 k π \leq x < \frac{7 π}{4} + 2 k π ， k \in z}$

查看试题解析
6. 偶函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2} - x) = f (x + \frac{1}{2})$ ，且在 $x \in [\frac{7}{2} ， 4]$ 时， $f (x) = {log}_{2} x - 1$ ，则 $f (- 2^{- 1}) =$ （）

A、 $\log_{2} 7 - 2$ B、1 C、 $\log_{2} 3 - 2$ D、 $\log_{2} 7 - 1$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ .则不等式 $x \cdot f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

查看试题解析
8. 关于函数 $f (x) = \cos | x | + | \cos x |$ 有下述四个结论：
① $f (x)$ 是偶函数；② $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增；③ $f (x)$ 在 $[- π, π]$ 上有4个零点；④ $f (x)$ 的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是（）

A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin (x + a) (x \leq 0) \\ \cos (x + b), (x > 0) \end{array}$ 是偶函数，则 $a, b$ 的值可能是（）

A、 $a = \frac{π}{3}$ ， $b = \frac{π}{3}$ B、 $a = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \frac{π}{6}$ C、 $a = \frac{π}{3}$ ， $b = \frac{π}{6}$ D、 $a = \frac{2 π}{3}$ ， $b = \frac{5 π}{6}$

查看试题解析
10. 设 $y = f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 单调递增， $a = \log_{0.2} 0.3, b = \log_{2} 0.3$ ，则（）

A、 $f (a + b) > f (a b) > f (0)$ B、 $f (a + b) > f (0) > f (a b)$ C、 $f (a b) > f (a + b) > f (0)$ D、 $f (a b) > f (0) > f (a + b)$

查看试题解析
11. 已知偶函数 $f (x)$ 满足对 $\forall x \in R, f (x + π) = f (x)$ ，且当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) = 1 + \cos x$ ，则 $f (- \frac{31 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{3} + \sin x}{(1 + x) (m - x) + e^{x} + e^{- x}}$ 为奇函数，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

查看试题解析
13. 已知f（x）=ax²+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析

二、填空题

14. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \ln (- x) + 3 x$ ，则 $f' (1) =$ .

查看试题解析
15. 若函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (x + 4) = - f (x)$ ，当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = \ln x + x + 1$ ，则当 $x \in (6, 8)$ 时， $f (x) =$ ．

查看试题解析
16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：

①对于圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；

②函数 $f (x) = sin x + 1$ 是圆 $O ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的一个太极函数；

③直线 $(m + 1) x - (2 m + 1) y - 1 = 0$ 所对应的函数一定是圆 $O ： {(x - 2)}^{2} + (y - 1) {}^{2}= R^{2} (R > 0)$ 的太极函数；

④若函数 $f (x) = k x^{3} - k x (k \in R)$ 是圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的太极函数，则 $k \in (- 2 ， 2) .$

所有正确的是．

查看试题解析
17. 已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{- x} - x$ ，则 $f (\ln 2) =$ ．

查看试题解析
18. 函数 $f (x)$ 为偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为．

查看试题解析
19. 将函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (φ < 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到偶函数 $g (x)$ 的图象，则 $φ$ 的最大值是．

查看试题解析
20. 函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.
①当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，y的取值范围是；
②如果对任意 $x \in [a ， b]$ (b <0)，都有 $y \in [- 2 ， 1]$ ，那么b的最大值是.

查看试题解析
21. 若函数 $f (x) = l n (e^{2 x} + a) - x (x \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ ．

查看试题解析
22. 若 $f (x) = 4 x^{2} - k x + s i n (2 x + φ) ， k \in R ， φ \in (0 ， π)$ 是偶函数，则 $k + φ =$ ．

查看试题解析
23. 若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 为偶函数，则 $m =$ .

查看试题解析
24. 已知 $a \in$ R、 $b \in$ R，函数 $y = x^{2} + (2 - a) x - 3 ， x \in [1 - b ， a]$ 是偶函数，则 $a + b$ =.

查看试题解析

三、解答题

25. 设常数 $a \in R$ ，函数 $f （ x ）$ $= a s i n 2 x + 2 c o s^{2} x$

(1)、若 $f （ x ）$ 为偶函数，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f 〔 \frac{π}{4} 〕$ $= \sqrt{3} + 1$ ，求方程 $f （ x ） = 1 - \sqrt{2}$ 在区间 $［ - π ， π ］$ 上的解。

查看试题解析
26. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{4^{x} + 1} + a x (a \in R)$ 为偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在R上的单调性（不用证明）；

(3)、已知函数 $g (x) = x^{2} - 2 x - m$ ， $x \in [- 1 ， 4]$ ，若对 $\forall x_{1} \in R$ ，总有 $\exists x_{2} \in [- 1 ， 4]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，试求实数 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
27. 已知偶函数 $f (x) = \frac{x + m}{2^{x} - 2^{- x}}$ .

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、经过研究可知，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求满足条件 $f (a - 1) < f (a^{2} - a)$ 的实数a的取值范围.

查看试题解析
28. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a e^{- x}$ 是偶函数，其中e是自然对数的底数.

(1)、求a的值；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) + m e^{- x} - 1 - m ⩾ 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数m的取值范围.

查看试题解析
29. 设函数 $f (x) = a^{x} + k \cdot a^{- x} + c o s x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $k \in R$ ）．

(1)、若 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，求实数k的值；

(2)、若 $k = 0$ ，对任意的 $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，不等式 $1 + \frac{7}{2} c o s x + f (2 x) > {[f (x)]}^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析
30. 设偶函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + \frac{m}{x} ， x > 0 ， \\ g (x) ， x < 0 ， \end{array}$ 且 $g (- 1) = 3 .$

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、根据定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 4]$ 上单调递增．

查看试题解析
31. 对于函数 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数 $a$ ， $b$ 使得 $h (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ 的生成函数．

(1)、设 $f_{1} (x) = \log_{4} x$ ， $f_{2} (x) = \log_{\frac{1}{4}} x$ ， $a = 2$ ， $b = 1$ ，生成函数 $h (x)$ ．若不等式 $2 h^{2} (x) + 3 h (x) + t < 0$ 在 $x \in [4 ， 16]$ 上有解，求实数 $t$ 的取值范围．

(2)、设函数 $g_{1} (x) = \log_{3} (9^{x - 1} + 1)$ ， $g_{2} (x) = x - 1$ ，是否能够生成一个函数 $h (x)$ ．且同时满足：① $h (x + 1)$ 是偶函数；② $h (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上的最小值为 $2 \log_{3} 10 - 2$ ，若能够求函数 $h (x)$ 的解析式，否则说明理由．

查看试题解析
32. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + m x$ ，函数 $f (x)$ 在y轴左侧的图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、讨论关于x的方程 $f (x) - a = 0$ 的根的个数．

查看试题解析
33. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 \sin x$ .

(1)、求 $x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知f( $\frac{π}{4}$ －α)＝ $\frac{6}{5}$ ，f( $\frac{5 π}{4}$ ＋β)＝－ $\frac{24}{13}$ ，α∈( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ )，β∈(0， $\frac{π}{4}$ )，求 $f (α + β)$ 的值.

查看试题解析
34. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{a^{x} + b^{x}}{2}$ ，其中a>0且a≠1，b>0且b≠1；

(1)、若f(x)为偶函数，试确定a， b满足的等量关系；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，试比较f(n)和 $\frac{f (2 n)}{2}$ 的大小关系，并证明你的结论.

查看试题解析
35. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m - 1}$ 是偶函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \log_{a} x (a > 0 ， a \neq 1)$ 的图象过点 $A (\frac{1}{9} ， - 2)$ ，求函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[1 ， 9]$ 上的值域.

查看试题解析