【备考2024】高考数学（函数版块）细点逐一突破训练：偶函数1

试卷更新日期：2023-08-17 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 (e^{x} - e^{- x})}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 s i n x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 (e^{x} + e^{- x})}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 c o s x}{x^{2} + 1}$

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2. 已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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3. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，若 $x \in [0 ， 1]$ ， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、0

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4. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (x)$ 的图象关于点 $(3 ， 0)$ 中心对称， $g (\frac{3}{2} + 2 x)$ 为偶函数，且 $g (1) = 2 ， g (3) = - 3$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) =$ （）

A、670 B、672 C、674 D、676

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5. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x + 1)$ 为偶函数， $f (x) = f (x + 1) - f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (18) =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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6. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (2 x + 1) - 2 x$ 与 $g (x + 2)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g (1) = 1$ B、函数 $\frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的周期为2 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (k) - 1] [g (k + 1) + 1] = 0$

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = s i n x$ ，则图像为下列图示的函数可能是（）

A、 $y = [f (x) + f (- x)] \cdot g (x)$ B、 $y = \frac{g (x)}{f (x) + f (- x)}$ C、 $y = [f (x) - f (- x)] \cdot g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x) - f (- x)}$

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8. 已知定义域为R的偶函数满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = e^{1 - x} - 1$ ，则方程 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ 在区间 $[- 3 ， 5]$ 上所有解的和为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0]$ ，不等式 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ 恒成立，则不等式 $f (1 - x) < f (1)$ 的解集为（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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10. 已知函数 $f (x) = m^{x} + n^{x} (m > 0 ， n > 0 ， m \neq 1 ， n \neq 1)$ 是偶函数，则 $m + 2 n$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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11. 若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是（ )

A、 $\forall x \in R ， f (x) + f (- x) = 0$ B、 $\exists x \in R ， f (x) + f (- x) = 0$ C、 $\exists x \in R ， f (x) \neq f (- x)$ D、 $\forall x \in R ， f (x) \neq f (- x)$

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12. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时，有 $f (x + 1) = - f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ .给出下列命题，其中正确的命题的为（）

A、 $f (2016) + f (- 2017) = 0$ B、函数 $f (x)$ 在定义域上是周期为2的周期函数 C、直线 $y = x$ 与函数 $f (x)$ 的图像有1个交点 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1 ， 1)$

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13. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 $y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

14. 若 $f (x) = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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15. 若 $y = (x - 1)^{2} + a x + s i n (x + \frac{π}{2})$ 为偶函数，则 $a =$ ．

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16. 设函数 $f (x + 1)$ 的图象关于y轴对称，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = e^{- x}$ ，则 $f (l n 3)$ 的值为.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{2^{x} + 1} (a > 0)$ 为偶函数，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为．

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19. 设a为实数，函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + a x^{2}$ 的导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，若 $f^{^{'}} (x)$ 是偶函数，则 $a =$ ，此时，曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程为．

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20. 若 $f (x) = a s i n (x + \frac{π}{4}) + b s i n (x - \frac{π}{4}) (a b \neq 0)$ 是偶函数，则有序实数对( $a ， b$ )可以
是.

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21. 若一个偶函数的值域为 $(0 ， 1]$ ，则这个函数的解析式可以是 $f (x) =$ .

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22. 已知函数 $f (x) = l n (e^{a x} + 1) - x$ 是偶函数，则实数 $a$ 的值为．

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23. 已知函数 $f (x) = l n (e^{x} + 1) - k x$ 是偶函数，则 $k =$ ．

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24. 写出一个以 $(1 ， 0)$ 为对称中心的偶函数，该函数的最小正周期是.

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25. 已知函数 $f (x) = \cos x - \log_{2} (2^{x} + 1) + a x (a \in R)$ 为偶函数，则 $a =$ .

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三、解答题

26. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in (- \infty ， 0)$ 的解析式；

(2)、当 $m > 0$ 时，若 $| f (m) | = 1$ ，求实数m的值．

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27. 设函数 $f (x) = \sqrt{2} s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ ，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为 $4 π$ ，且 $f (x)$ 为偶函数.

(1)、求 $ω$ 和 $ϕ$ 的值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 的对边分别为 $a ､ b ､ c$ ，若 $(2 a - c) c o s B = b c o s C$ ，求 $f^{2} (A) + f^{2} (C)$ 的取值范围.

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28. 设函数 $f (x) = e^{x} + m e^{- x} - a x^{2}$ $(m, a \in R)$ .

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求 $m$ 的值；

(2)、当 $m = 0$ 时，若函数 $f (x)$ 的图象有且仅有两条平行于 $x$ 轴的切线，求 $a$ 的取值范围.

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29. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (4^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 与 $g (x) = l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，其中 $f (x)$ 是偶函数．

(1)、求实数 $k$ 的值及 $f (x)$ 的值域；

(2)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(3)、若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且只有一个公共点，求实数 $a$ 的取值范围．

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30. 已知函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (2^{x} + 1) - m x ， m \in R$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，解不等式 $f (x) > - 1$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求m的值；

(3)、当 $m = - 1$ 时，若函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = b$ 有公共点，求实数b的取值范围．

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31. 已知实数 $a > 0$ ，定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a} + \frac{a}{e^{x}}$ 是偶函数，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、求实数 $a$ 值；

(2)、判断该函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性并用定义证明；

(3)、是否存在实数 $m$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (t - 2) < f (2 t - m)$ 恒成立．若存在，求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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32. 已知函数 $f (x) = e^{x} + (1 + a) e^{- x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求a的值；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) ⩾ a + 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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33. 已知 $f (x) = x^{2} - a | x | + b$ 与 $g (x) = 3 c o s 2 x + (2 a - 3) c o s x + 3 - a$ 均为定义在（－ $\frac{π}{2} ， \frac{π}{2}$ ）上的函数，其中a，b均为实数．

(1)、若g（x）存在最小值，求a的取植范围；

(2)、设 $h (x) = \frac{f (x) + g (x) - | f (x) - g (x) |}{2}$ ，若h（x）恰有三个不同的零点，求a的值．

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34. 函数 $f (x) = | 2^{x} + a - 9 |$ ， $g (x) = - x^{2} + (5 - a) x + 2 a$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若函数 $g (x)$ 为偶函数，求函数 $f (g (x) - 7)$ 的值域；

(2)、若不存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) > 6$ 和 $g (x) > 6$ 同时成立，求 $a$ 的取值范围．

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35. 已知定义域为R的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = 2^{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式： $2 f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、若关于x的方程 $f (x) - λ g (x) + 1 = 0$ 有实根，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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